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SUI CONNESSI BILINEARI FRA PUNTI E RETTE NELLO SPAZIO ORDINARIO 



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la 



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(11) 



Z y r X, = y x X x + >Jz X 2 + y 3 X 3 + y t X 4 = 



forma che verrà più avanti ricordata. 



TV. 



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. — Se sono 



0; 



r' = zc'i^gXncXg — o 



le equazioni di due connessi bilineari fra i punti (x T ) di un medesimo spazio pun- 

 teggiato S e le rette (x r ,) di un medesimo spazio rigato Z, a ogni punto di S corri- 

 sponderanno in Z due complessi lineari segantisi in una congruenza lineare di rette, 

 e viceversa a una retta di Z corrisponderanno in S due piani segantisi in una retta. 

 Cioè i due connessi hanno in comune una quintuplice infinità di elementi (coppie di 

 punti e rette): tutte le rette che con un dato punto formano un elemento, sono le 

 rette di una congruenza lineare, e tutti i punti che con una data retta formano un 

 elemento, sono sopra una retta. — Le congruenze corrispondenti agli oo 3 punti di S 

 formano un sistema algebrico razionale oo 3 , che è riferito proiettivamente ai punti 

 di S. — Le congruenze stesse non variano se, invece dei due connessi da cui siamo 

 partiti, si prendono due connessi qualunque del fascio 



(12) \Tc lKs x lì: x s Zc'rtjXitX, = 0. 



Ogni connesso di questo fascio ha, in generale, due rette fondamentali che si 

 trovano come intersezioni dei complessi 



per s = 1, 2, 3, 4. Si vede quindi che la rigata formata dalle rette fondamentali dei 

 vari connessi del fascio si può ottenere come luogo delle coppie di rette comuni ai 

 complessi corrispondenti di quattro fasci proiettivi. — Essa è perciò una rigata 

 dell'ottavo ordine e del genere tre, che diremo R, e la sua immagine nella nota 

 rappresentazione dello spazio rigato sopra una Mi"' di S 5 è l'intersezione coll'M'/' della 

 rigata Qi 41 del quarto ordine, luogo degli Si in cui si tagliano gli S 4 corrispondenti 

 dei quattro fasci (12). — Tale rigata può essere di due specie a seconda che è uno 

 o due l'ordine della sua direttrice minima : nel 1° caso la Q', 2 ' viene a rappresentarsi 

 sul piano mediante le oo 5 cubiche di un sistema lineare con un punto doppio fisso 

 e una tangente fìssa in esso; nel 2° il sistema lineare ha ancora un punto doppio 

 base, ma, anziché la tangente fissa, possiede un secondo punto (semplice) base, distinto 

 dal primo. L'immagine della rigata R sul piano è una curva del 6° ordine con un 

 punto quadruplo nel punto doppio fisso, e un punto doppio nel punto semplice fisso 



Serie II. Tom. LI. r 



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