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EMILIO VENERONI 



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(infinitamente prossimo al primo, o no). — E in S 5 l'immagine di R è una curva s 

 che basta a definire il sistema degli co 3 S 3 di S 5 che segnano sopra la W$ le imma- 

 gini delle congruenze lineari del sistema. — Infatti tali S 3 devono incontrare tutti 

 gli Si che costituiscono Ql 4) , perchè ognuno di essi è in un S 4 con ognuno degli S lt 

 Segue che nella rappresentazione di sul piano le sezioni di tali S 3 colla Qs 1 sono 

 rappresentate dalle coniche passanti per i due punti base, semplice e doppio, infini- 

 tamente vicini o no. E viceversa a una tal conica corrisponde un unico S 3 incon- 

 trante tutti gli S t di Q ! , 2) , che è quello per cui passano gli S 4 le cui sezioni con Qa" son 

 rappresentate nel piano dalle cubiche spezzate in quella conica e in rette pel punto 

 doppio fisso. Ogni tale S 3 sega quindi la curva s in 6 punti, cioè: Ogni congruenza 

 del sistema contiene 6 generatrici della rigata R e viceversa ogni congruenza contenente 

 6 generatrici di R appartiene al sistema. Questo mostra che la rigata R basta a carat- 

 terizzare in Z il sistema di congruenze. — Le coppie di generatrici a, b di R che 

 sono rette fondamentali per i vari connessi del fascio segnano su R una g\, onde 

 R è iper ellittica, ed essendo 3 il suo genere saranno 8 gli elementi doppi della g\ cioè 

 In un fascio generale di connessi giacciono otto connessi della 2* categoria. Invece, 

 poiché nessuna generatrice di Q* 1 appartiene in generale alla M 4 5) * nel fascio non è 

 in generale nessun connesso della 3 a categoria. 



16. — Se una retta d è direttrice di una congruenza lineare del sistema, vi 

 è nel fascio un connesso che contiene (nel sistema di complessi ad esso relativo) il 

 complesso speciale d'asse d: perciò d dovrà appoggiarsi a due generatrici coniugate 

 nella g\ segnata su R dal fascio di connessi. — Viceversa una retta appoggiatesi a due 

 generatrici corrispondenti di R è asse di un complesso speciale di un connesso del 

 fascio e quindi è direttrice di una congruenza del sistema. Le direttrici delle con- 

 gruenze del sistema sono dunque tutte e sole le rette che s' appoggiano a rette coniugate 

 nella g\ su R. Esse formano quindi un complesso del 4° grado. E infatti quattro è la 

 classe dell'inviluppo delle rette che congiungono le coppie di punti corrispondenti 

 della g\ che sta nella curva sezione di R con un piano qualunque. 



Prese due coppie qualunque di generatrici di R coniugate nella g\, esistono due 

 rette che s'appoggiano ad entrambe, e che quindi sono doppie per il complesso O' 4 ' delle 

 direttrici. Si può cosi ottenere una doppia infinità di rette: ora il cono del com- 

 plesso (4) che esce da un punto qualunque di I potendosi intendere come luogo delle 

 rette appoggiate da quel punto alle coppie di generatrici di R coniugate nella g\, è 

 razionale, ed ammette quindi, in generale, 3 rette doppie non poste in un piano. 

 Così pure in ogni piano avremo tre rette doppie del complesso non passanti per un 

 punto. Cioè II complesso delle direttrici ammette ima congruenza di rette doppie del 

 3° ordine e della 3 a classe, non contenuta in un complesso lineare (congruenza di Roc- 

 cella). — La rigata R è superficie di singolarità pel complesso delle direttrici: per 

 ogni suo punto M il cono-complesso si scinde nel fascio che da M proietta le gene- 

 ratrici corrispondenti a quella, g, che passa per M, e in un cono di 3° ordine con 

 una retta doppia: delle 3 generatrici di questo, che appartengono al fascio, una è 

 la retta singolare s relativa al punto scelto, le altre sono due rette della congruenza 

 doppia: la retta s ha per punto singolare il punto M, mentre il piano singolare 

 dovendo toccare in M la superficie singolare, è il piano sg: la s s'appoggia alla 



