25 SUI CONNESSI BILINEARI FRA PUNTI E RETTE NELLO SPAZIO ORDINARIO 139 



coniugata g ] in un punto M l che è anche l'intersezione di g l col piano sg; onde la 

 punteggiata descritta da M su g essendo proiettiva al fascio dei piani tangenti nei 

 vari punti M di g, cioè al fascio dei piani sg, e a, questa essendo proiettiva la 

 punteggiata descritta da M' su g\ segue : Le rette s = MM' singolari pel complesso 

 delle direttrici aventi il loro punto singolare sopra una stessa generatrice di R formano 

 una serie rigata, di cui sono direttrici la detta generatrice di R e la sua coniugata. 

 Una coppia di generatrici coniugate g g l genera allora due simili serie rigate, le 

 quali avendo in comune due direttrici g g\ hanno ancora in comune due generatrici, 

 ognuna delle quali, essendo doppia per due coni di Q {i \ è doppia per (4) . Esse sono 

 a riguardarsi come le rette appoggiantisi alla coppia g g l e alla coppia di genera- 

 trici coniugate infinitamente vicina in R. 



17. — Nello spazio punteggiato S si immaginino le oo 1 quadriche (C) relative 

 ai connessi del fascio : poiché a un punto di S corrisponde in Z una congruenza 

 lineare, per la quale passano due complessi speciali, Le quadriche (C) relative agli 

 infiniti connessi del fascio formano una serie oo 1 di indice 2. — Inoltre, a ciascuno 

 degli otto punti comuni a 3 quadriche (C) deve corrispondere una congruenza lineare 

 per la quale passino 3 complessi speciali: essa deve dunque scindersi in un piano 

 e in una stella, gli assi dei 3 complessi appartengono a un medesimo fascio, tutti 

 i complessi corrispondenti a quel punto in tutti i connessi del fascio, sono speciali, 

 epperò gli otto punti sono comuni a tutte le quadriche (C), le quali appartengono a 

 una medesima rete. 



Ai punti di una retta di S corrispondono in Z le congruenze lineari intersezioni 

 dei complessi corrispondenti di due fasci proiettivi: le coppie di direttrici di esse 

 formano una rigata del 4° ordine contenuta nella congruenza che ha per direttrici 

 le due rette comuni a tutti i complessi dell'uno e dell'altro fascio, e segnano su di 

 questa una gl, la quale ammetterà quattro coincidenze, poiché è uno il genere della 

 rigata. — Se la retta di S passa per uno degli otto punti comuni a tutte le (C), la 

 rigata si scinde nel fascio delle direttrici della congruenza degenere corrispondente 

 a quel punto e in una rigata razionale del 3° ordine, sulla quale la g\ analoga alla 

 precedente ha due coincidenze, cioè I punti di S cui corrispondono in Z congruenze 

 a direttrici coincidenti, formano una superficie del 4° ordine, avente otto punti doppi nei 

 punti comuni a tutte le quadriche (C) (superficie di Cayley). Ricordando allora che 

 ogni congruenza del sistema contiene sei generatrici di R segue ben tosto che delle 

 generatrici di R che devono appartenere ad ognuna delle otto congruenze degeneri, 

 tre appartengono alla stella e tre al piano componente la congruenza: infatti l'S 3 che 

 in S 5 segna su M^> l' immagine della congruenza degenere, sega Ql 1 , in una cubica 

 gobba che ha tre punti in comune con ciascuno dei due S 2 che compongono la inter- 

 sezione dell' S 3 coH'M^. Onde La rigata R ammette otto punti tripli nei centri delle 

 stelle che son parte delle congruenze degeneri del sistema, e otto piani tripli nei piani 

 che compiono le dette congruenze (*). La rigata R stessa può quindi ottenersi come 



(,*) Che otto, e non più, sia il numero dei punti tripli della rigata R risulta anche, come il 

 chiarissimo Prof. Segre mi fece osservare, da una forinola del Sig. Castelnuovo (" Rendic. Circolo 



