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EMILIO VENERONI 



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luogo delle rette che s'appoggiano ai raggi corrispondenti di quattro fasci proiettivi: 

 tali sono quattro qualunque degli otto fasci determinati da un punto triplo e dal 

 piano triplo per esso. I raggi di uno di questi fasci sono infatti le rette che dal suo 

 centro s'appoggiano alle coniugate nella gì di R, di guisa che le coppie di gene- 

 ratrici coniugate di R si appoggiano a tutte le otto rette che negli otto fasci sono 

 assi di complessi speciali relativi al connesso per cui le generatrici della coppia son 

 rette fondamentali. Onde gli otto fasci sono proiettivi fra loro e al fascio di connessi 

 e il nostro asserto è giustificato. — Il piano di ciascuno di questi fasci contiene 

 3 generatrici di R, e altre tre generatrici passano per ciascuno dei centri. — Se 

 A! A 2 , (*! a, sono centri e piani di due degli otto fasci, la retta Aj A 2 , e così la a : ct 2 , 

 incontrano R ciascuna in due punti, fuori dei punti A { A 2 per la prima retta, e fuori 

 degli incontri colle rette che giacciono in a t e a 2 per la seconda. Ora i detti due 

 punti in cui a y a, sega R si possono ottenere così: sulla a : a 2 i due fasci proiettivi 

 (A! cti), (A 2 ct 2 ) segnano due punteggiate proiettive sovrapposte con due punti uniti : 

 se E è uno di essi, dovrà esistere una coppia di generatrici coniugate di R incidenti 

 le Ai E, A 2 E: non potendo le due generatrici della coppia giacere nel piano A^s-E 

 se non si vuole che appartenga al fascio un connesso della 3 a categoria (IV, 15), 

 dovrà una di esse passare per E; , l'altra giacere in A x A 2 E. Cioè Le due generatrici 

 di R che incontrano la congiungente di due punti tripli, fuori di questi, sono le coniu- 

 gate delle due che s'appoggiano alla intersezione dei due piani tripli coordinati ai due 

 punti, non giacenti in essi. 



18. — Il sistema di congruenze relative ad un fascio di connessi contiene dunque 

 in generale otto congruenze degeneri, scisse cioè in un piano e in una stella. — 

 Vogliamo ora determinare quei fasci di connessi per cui le congruenze degeneri sieno 

 in numero infinito : occorrerà in tal caso che pure infiniti sieno i punti base della 

 rete che contiene le quadriche (C). Ciò può avvenire in uno dei tre modi seguenti: 



A) — La rete contenente le (C) ha una retta base, e fuori di essa ancora 

 quattro punti; 



B) — La rete stessa possiede una conica base e fuori di essa due punti; 



C) — infine la rete ha una cubica gobba base. 



Caso A. — Ai punti della retta base in S, corrispondono in X e in due con- 

 nessi qualunque del fascio due fasci di raggi prospettivi come assi di complessi 

 speciali, e allora I vertici delle stelle del fascio di connessi stanno su una retta p, e i 

 piani rigati ne contengono un'altra p'. Tutti i punti di p sono tripli per la rigata R; 

 tutti i piani per p' sono pure tripli per R. Le 3 rette di R uscenti da un punto di p 

 non giacciono in generale in un piano per p', e la rigata si scinde in due: quella P 

 formata dalle rette uscenti dai punti di p, e quella P' formata dalle rette giacenti 



Palermo „, 2°, 3°). Che poi ogni piano triplo si ottenga nel modo esposto in seguito risulta anche 

 come segue: Un piano triplo o sega R oltreché in tre generatrici, in una curva del 5° ordine T 5 , la 

 quale essendo iperellittica come R ammette necessariamente un punto triplo A, pel quale passano 

 3 generatrici di R, dunque punto triplo di R. — E le coppie di punti di Y 5 allineati con A, cioè 

 coniugate nell'iperellitticità, saranno sulle coppie di generatrici di R coniugate nella stessa g*, 

 epperò saranno atti di complessi speciali, ecc., ecc. 



