27 SUI CONNESSI BILINEARI FRA PUNTI E RETTE NELLO SPAZIO ORDINARIO 141 



in piani per p . — Le P, P' sono rigate del 4° ordine; la prima ammette oltre alla 

 retta tripla p, una sviluppabile di piani bitangenti della 3 a classe, e la seconda, oltre 

 all'asse triplo p', ammette una cubica gobba di punti doppi. — Le due rigate P P' 

 hanno in comune quattro generatrici, come si vede subito considerando i punti di 

 incontro di ciascuna delle p, p' colle rigate P' P. — Le rigate P P' sono fra loro 

 proiettive: una generatrice di P e la corrispondente di P' sono rette fondamentali 

 di un medesimo connesso del fascio. — Nello spazio S la superficie dei punti cui 

 corrispondono congruenze speciali, è una F 4 con una retta doppia e 4 punti doppi 

 fuori di essa (Plucker). 



Caso B. — In questo caso le quadriche (C) avendo tutte in comune una conica, 

 la suddetta F 4 possiede una conica doppia e due punti doppi fuori di essa. — Poiché 

 alla rete cui appartengono le (C) appartiene un fascio di quadriche degeneri com- 

 poste del piano della conica e di un piano variabile intorno alla retta che unisce i 

 due punti base di (C), vi saranno tra le (C) due quadriche degeneri, epperò al fascio 

 appartengono due connessi della terza categoria. Quindi la rigata R si spezza in due 

 fasci e in una rigata del 6° ordine. Alla conica base delle (C) corrispondono in X 

 e per due qualunque connessi del fascio le generatrici di due serie rigate come assi 

 dei complessi speciali corrispondenti ai punti della conica, riferite tra loro in modo 

 che due generatrici corrispondenti si incontrino. Ora ciò può aver luogo in tre modi 

 diversi : 



1°. Le due serie rigate possono avere una direttrice in comune, ed essere 

 corrispondenti due generatrici delle due serie incontrantisi in un punto della direttrice 

 comune. Allora II luogo dei centri delle stelle componenti le congruenze degeneri del 

 sistema e la retta direttrice comune delle due serie rigate. E l'inviluppo dei piani rigati 

 componenti le stesse congruenze è una sviluppabile di 3 a classe formata dai piani delle 

 coppie di generatrici delle due rigate incontrantisi in punti della direttrice comune. 

 I punti della retta e i piani della sviluppabile sono punti e piani tripli per la rigata 

 del 6° ordine che entra a comporre R. La stessa rigata ammette ancora due punti 

 e due piani tripli isolati. 



2°. Le due serie rigate possono essere proiettive per modo che sieno corri- 

 spondenti le generatrici incontrantisi nei punti di una conica posta su entrambe le 

 quadriche su cui stanno le rigate. Il luogo dei centri delle stelle è dunque in questo 

 caso una conica. Quanto al luogo dei piani rigati si osservi che questi dovendo con- 

 tenere una generatrice di ciascuna delle suddette quadriche, sono piani tangenti ad 

 entrambe : le quadriche stesse si segano oltre che nella detta conica, in una seconda 

 conica: i piani tangenti comuni formano due coni quadrici, aventi i vertici in due 

 punti della retta intersezione dei due piani tangenti (comuni) alle due quadriche 

 negli incontri delle due coniche. Uno di tali coni quadrici è precisamente formato dai 

 piani dalle coppie di generatrici delle due serie incontrantisi in punti della l a conica. 

 Dunque I piani rigati formano un cono quadrico. Questo e la conica sono proiettivi 

 per modo che per ogni punto della conica passa il piano corrispondente del cono. La 

 rigata del 6° ordine ha una conica di punti tripli, un cono di piani tripli, due punti 

 e due piani tripli isolati. 



3°. Le due serie rigate possono essere proiettive per modo che sieno corri- 

 spondenti due generatrici incontrantisi in punti di una cubica gobba di cui sieno 



