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EMILIO VENERONI 



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unisecanti. — Questo sottocaso è correlativo al 1°: luogo dei centri delle stelle è 

 una cubica gobba; l'inviluppo dei piani rigati è un fascio, ecc. 



Caso C. — Rimane infine a considerarsi il caso in cui tutte le (C) abbiano comune 

 una cubica gobba: non appartiene alla rete nessuna quadrica degenere, epperò il 

 fascio non contiene nessun connesso della 3» categoria. Ai punti della cubica comune 

 a ogni (C) in due qualunque connessi del fascio corrispondono connessi speciali, i cui 

 assi formeranno due rigate cubiche razionali riferite proiettivamente fra loro per modo 

 che due generatrici corrispondenti si incontrino. Sieno Pi P ? le due rigate, s, s 2 , d x d s 

 le loro direttrici semplici e doppie. Si debbono distinguere i sottocasi seguenti: 



1°. Le due direttrici semplici SySt coincidano e sieno corrispondenti due gene- 

 ratrici di P t P 2 incontrantisi in un punto della direttrice semplice comune. Il luogo 

 dei centri delle stelle e allora la direttrice semplice comune. Il luogo dei piani rigati è 

 un fascio gobbo di 5 a classe. Infatti ogni piano per s L contiene due generatrici delle 

 due rigate Pi P 2 , e se facciamo corrispondere due piani del fascio (sj quando con- 

 tengano due generatrici corrispondenti delle Pi P 2 , sarà fra i piani del fascio posta 

 una corrispondenza [22], ed esisteranno quindi quattro piani rigati passanti per s, : 

 inoltre per ogni punto di s, passa un altro di tali piani, quello determinato dalle 

 due generatrici corrispondenti di P! P> in esso incontrantisi. Con ciò è giustificato 

 l'asserto. — Di tutte le coppie di rette fondamentali di un medesimo connesso del 

 fascio, una retta è sempre s Xì l'altra varia a descrivere una rigata dell'8° ordine, 

 formata dalle rette in cui si segano terne di piani del fascio gobbo di 5 a classe, che 

 sono quindi le direttrici doppie delle infinite rigate cubiche che si ottengono conside- 

 rando gli infiniti connessi del fascio. 



2°. Le due direttrici doppie s t s, sieno distinte : un piano per s, contiene due 

 generatrici di Pi e quindi due punti d'incontro di esse colle corrispondenti di P 2 ; onde 

 1 centri delle stelle formeranno una conica, una cubica, una quartica razionale, o una 

 quintica razionale a seconda che dei tre punti d'incontro di s, con P 2 , nessuno o uno 

 o due o tre sieno punti d'incontro di generatrici corrispondenti delle due rigate. Nel 

 primo caso il luogo dei centri di stelle è una conica: per ogni direttrice semplice, 

 per esempio per s, , passano tre piani rigati, quelli che contengono le tre generatrici 

 di P 2 appoggiate ad Si e quindi le tre corrispondenti di s t . Per ogni punto di Sj passa 

 poi un altro piano rigato, quello che contiene la generatrice di Pi passante per il 

 punto. Quindi I piani rigati formano un fascio gobbo razionale di 4 A classe: per cia- 

 scuna direttrice doppia, p. es. di , passano invece due soli piani rigati : infatti la 

 direttrice doppia incide la conica in un punto, e incontra P 2 fuori di questo in due 

 punti che danno luogo a due piani del fascio gobbo contenenti di. Dalle note pro- 

 prietà delle quartiche di 2* specie e dei fasci gobbi correlativi segue quindi: Le diret- 

 trici semplici delle rigate cubiche formano una serie rigata che è parte di R: le diret- 

 trici doppie formano una rigata del 6° ordine. 



3°. Nel secondo dei casi poco sopra accennati risulta con ragionamento affatto 

 simile: Il luogo dei centri delle stelle è una cubica gobba e il luogo dei piani rigati un 

 fascio gobbo di 3 a classe. Le direttrici semplici delle rigate cubiche sono assi del fascio 

 gobbo e unisecanti della cubica e formano una rigata del 4° ordine. Le direttrici semplici 

 sono corde della cubica, per ciascuna di esse passa un sol piano del fascio gobbo: esse 

 formano pure una rigata del 4° ordine. 



