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SUI CONNESSI BILINEARI FRA PUNTI E RETTE NELLO SPAZIO ORDINARIO 143 



4°. Il terzo dei casi accennati è duale al caso 2. 1 centri delle stelle formano 

 una quartica di 2* specie: i piani rigati toccano un cono quadrico. 



5°. Il quarto dei casi stessi è duale al caso 1. / centri delle stelle formano una 

 quintica razionale; i piani rigati formano un fascio. 



19. — Otterremo in questo numero un nuovo fascio di connessi, cui pure com- 

 petono infiniti centri di stelle e infiniti piani rigati, supponendo che la rete delle qua- 

 driche contenenti le (C) si riduca ad un fascio. Il fascio di connessi sia 



e si ponga 



(CC) = ^-iì;,uv fa»,» c ki,s) • ( c uv,s c m,s)%s 

 (CC ) = ^- t k,uv \^-s( c ik,s Cfci, s )x s . Z s (c „.. )S C VUiS )X s -\~ 



(CC) = ^■iìn.uv ^t(p'ik,s c Iti,»)*"* ^-t ( c 'uo,« C 



essendo 



s = l, 2, 3, 4 

 ifc,wt> = 12, 34; 13, 42; 14, 23. 



Allora l'equazione della quadrica (C) relativa a un connesso (XX') del fascio è la 



(13) X*(CC) + XX' (CC) -f X'HC'C) = 0. 



Ora si supponga che, per qualunque sistema di valori per le x r , si abbia iden- 

 ticamente 



(14) o(CC) + p(CC) + r(CC) = 



essendo a, p, t delle costanti. Allora, e allora solo, le (C) appartengono a un mede- 

 simo fascio. Ora pei due connessi (XjX'j) (X 2 X' 2 ) tali che sia 



(15) «X, X 2 + \' 8 ) + X 2 X\) + yX\X' 2 = 



la (13), supposta identicamente verificata la (14), resta inalterata. E allora la (15) 

 dice: Se le quadriche (C) appartenenti a un fascio di connessi sono le quadriche di un 

 fascio, allora tra i connessi del fascio resta stabilita una involuzione, tale che due con- 

 nessi in essa coniugati ammettono la medesima quadrica (C). 

 Se si suppone che sia 



P 2 — ciyH=0, 



la involuzione (15) ha due elementi doppi distinti: e supponendo che i connessi doppi 

 della detta involuzione sieno i due 



^ c ik,s x ik % t 



^ c'ik.s %ik x i = 



