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SUI CONNESSI BILINEARI FRA PUNTI E RETTE NELLO SPAZIO ORDINARIO 145 



di S. Esistono cioè quattro punti in S cui in Z corrispondono, anziché congruenze, com- 

 plessi lineari. Si diranno punti fondamentali del fascio di connessi. 

 Si vede facilmente: 



1°. A un punto M di S corrispondono in Z i complessi di un fascio; 



2°. A un piano u di S corrispondono in Z e nei vari connessi del fascio le 

 serie rigate di una congruenza gobba del 3° grado ; 



3°. A un complesso del sistema co 3 corrispondono in S e nei vari connessi del 

 fascio i punti di una cubica sghemba ; 



4°. A una serie rigata contenente le due rette fondamentali in Z corrisponde 

 in S un fascio di piani avente per base una retta m. 



Si riferiscano proiettivamente i complessi del sistema ai piani di uno spazio S' : 

 allora le congruenze corrispondenti a punti di S sono in S' rappresentate dalle rette 

 di un complesso tetraedrale. I complessi speciali del sistema essendo rappresentati 

 in S' dai piani tangenti ad una quadrica, esisteranno otto generatrici di questa, 

 quattro per ciascuna serie, appartenenti al detto complesso tetraedrale. Cioè Vi sono 

 otto congruenze corrispondenti a punti di S che si scindono in un piano e in una stella: 

 Quattro centri di stelle sono su una retta fondamentale a ; e quattro sull'altra b. Così 

 pure quattro piani rigati passano per a, e quattro per b. Alle congruenze scin- 

 dentisi nelle stelle coi centri su a, e nei piani per b. corrispondono in S quattro 

 punti B a : cosi pure alle congruenze scindentisi in stelle coi centri su b, e in piani 

 per a, corrispondono in S quattro punti B ò . I punti B a , B 4 sono doppi per la F 4 

 di S cui corrispondono in Z congruenze speciali : inoltre la stessa F i acquista altri 

 quattro punti doppi nei quattro punti A uniti nelle omografie poste in S, e ai 

 quali corrispondono in Z complessi anziché congruenze. A una retta passante per 

 uno di questi punti corrispondono infatti in Z e in due connessi qualunque del fascio 

 due fasci proiettivi di complessi lineari con un complesso unito comune, e vi sono 

 solo due congruenze intersezioni di complessi corrispondenti, che sieno speciali. — 

 In tutto si hanno per la F 4 12 punti doppi divisi in 3 quaterne: A, B a , B t . Le due 

 quaterne B a B,, formano, come si sa, un gruppo di otto punti base di una rete di 

 quadriche. Questo succede anche per le due coppie A, B ; A, B 6 . Infatti il complesso 

 tetraedrale di S' è rappresentato coi punti di S, e, come è noto, le sue sezioni 

 cogli oo 5 complessi lineari sono rappresentate dalle co 5 quadriche passanti per i quattro 

 punti A. E poiché le rette di S' di cui le immagini sono i punti B„ stanno su una 

 serie rigata, intersezione di 3 complessi, i punti B a si troveranno su tre quadriche 

 indipendenti passanti per i punti A. Quindi : Una coppia qualunque delle quaterne 

 A, B a , B b costituisce un gruppo di otto punti base di una rete di quadriche. Inoltre 

 poiché la retta corrispondente a un qualunque punto B n nel complesso tetraedrale 

 di S', è asse di un complesso lineare speciale contenente tutte le rette corrispondenti 

 ai punti B ò (e infatti le quattro rette corrispondenti ai punti B a , e le quattro cor- 

 rispondenti ai punti B;, sono quaterne di generatrici di sistema opposto di una qua- 

 drica), avendo a mente che l'immagine in S della sezione del complesso tetraedrale 

 di S' con un complesso speciale il cui asse appartenga al 1° è un cono quadrico il 

 cui vertice è l'immagino dell'asse, segue: Proiettando da ogni punto B a i punti B b e 

 i punti A s'ottengono sette rette che stanno su un cono quadrico. anche La curva 

 Jacobiana della rete di quadriche di cui sono gli A e B a i punti base passa per i 



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