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EMILIO VENERONI 



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punti B b : e così la Jacobiana della rete di quadriche di cui sono A e B b i punti base 

 passa per i punti B a (*). 



21. — Ritorniamo alle ipotesi più generali, che cioè le rette fondamentali 

 variino col connesso del fascio, e supponiamo che i due spazi S, Z sieno sovrapposti. 

 Allora a un punto M di S corrisponde in I una congruenza lineare di cui una retta m 

 passa per M. Facendo variare M in tutti i modi possibili, anche vi varia descrivendo 

 un complesso del 3° grado. Infatti fissati due connessi qualunque del fascio e preso 

 un piano n di (S X) ai punti M di ti corrispondono nel 1° e nel 2° connesso i com- 

 plessi di due reti proiettive, i cui poli rispetto al piano tt descrivono in tt due sistemi 

 piani (M') (M") proiettivi al sistema (M). — Le rette su cui sta una terna di punti 

 corrispondenti in (M) (M') (M") sono le rette di un inviluppo di 3 a classe giacente 

 in tt. — Ma tali rette sono proprio rette m, giusta la definizione datane al principio 

 del numero. — A una tale retta m considerata come appartenente a X corrisponde 

 una retta m' (intersezione dei piani corrispondenti ad m nei vari connessi del fascio); 

 le rette m m' si incontrano in M. Dunque Le rette m di I che incontrano le Ioì'o cor- 

 rispondenti in S formano un complesso del 3° grado. Questo complesso è rappresentato 

 in modo biunivoco sullo spazio S, quando di ogni sua retta si ritenga corrispondente 

 l'incontro M di essa colla corrispondente m' . — Se il punto M descrive una retta r, 

 i complessi corrispondenti ai punti di r in due connessi del fascio, formano due fasci 

 proiettivi, e i piani focali dei punti M di r nei due connessi formano (II, 4) due coni 

 quadrici proiettivi per modo che si corrispondono i piani focali di un medesimo 

 punto. Le intersezioni delle coppie di piani corrispondenti, cioè le rette m relative 

 ai punti M di r, formano quindi una rigata razionale del ~4° ordine di cui r è diret- 

 trice semplice. Segue quindi Le superficie luoghi dei punti corrispondenti alle rette 

 del complesso giacenti in un complesso lineare formano un sistema lineare co 5 di super- 

 ficie del 4° ordine. Si osservi poi che un cono-complesso uscente da un punto V di S 

 è rappresentato da una quartica ellittica passante per V, che è l'intersezione di due 

 quadriche (Q) (II) relative al punto V in due connessi qualunque del fascio. — Inoltre 

 la generazione, data al principio del numero, di un inviluppo del complesso posto in 

 un piano tt mostra che le rette di tale inviluppo sono rappresentate dai punti di una 

 cubica ellittica giacente in tt. Segue che due superficie <t> si segano in una linea varia- 

 bile del 7° ordine, spezzantesi in una quartica ellittica e in una cubica piana quando 

 le due superficie corrispondano a due complessi speciali ad assi incidenti. — Quindi 

 Tutte le superfìcie <t> hanno in comune una curva storta del 9° ordine. — Il complesso (3J ha 

 in generale un numero finito di rette doppie, come ora vedremo: ne segue che se- 

 gando (3) con una arbitraria congruenza lineare otteniamo una rigata del 6° ordine 

 che non ha altra singolarità che due rette triple nelle due direttrici, ed è perciò di 

 genere quattro. — Tale è dunque il genere della suddetta curva variabile del 7° or- 

 dine, la quale avrà dunque 11 punti doppi apparenti: allora dalla forinola nota 



h — h'=\{d — d')(m — l)(m'— 1) 



(*) Per questa superficie cfr. Rohn, " Math. Ann. „, Bd. XXIX, pag. 88. — Essa corrisponde al 

 simbolo XII&. 



