33 SUI CONNESSI BILINEARI FRA PUNTI E RETTE NELLO SPAZIO ORDINARIO 147 



che lega gli ordini d, d' e i numeri h, h' dei punti doppi apparenti di due curve 

 in cui si spezzi l'intersezione di due superficie di ordini m, m', ponendo m — m' = 4, 

 li =11, d — 9, d' — 7, ricaviamo il numero h — 20 dei punti doppi apparenti della 

 curva fondamentale del nono ordine t comune a tutte le <t>. In ciò e ammesso impli- 

 citamente che t non abbia punti multipli effettivi, ipotesi, del resto, a cui siamo 

 condotti dallo stesso significato della linea Y- — Un punto di questa deve infatti, 

 poiché appartiene a tutte le <t>, rappresentare un fascio di rette (3) , e quindi deve 

 appartenere a una direttrice della congruenza che gli corrisponde nel fascio di con- 

 nessi. Ciò mostra anche che la linea *f è il luogo dei punti uniti dei connessi del fascio: 

 un punto suo sarà multiplo pertanto solo quando sia punto unito per due e quindi 

 per tutti i connessi del fascio, ciò che in generale non è. — Il complesso (3) può 

 anche riguardarsi come luogo delle rette che sono raggi principali in qualcuno dei con- 

 nessi del fascio. Infatti un raggio principale di un connesso appartiene a tutti i com- 

 plessi di questo che corrispondono ai suoi punti, e quindi fra i complessi che in un 

 altro connesso corrispondono agli stessi punti, ve n'è certo uno che contiene quel 

 raggio. — Ora le congruenze dei raggi principali eli due connessi del fascio hanno 

 in comune 13 rette, ognuna delle quali appartiene a tutte le congruenze lineari cor- 

 rispondenti ai suoi punti. — Conducendo per una di tali rette un piano tt ad arbitrio, 

 e cercando, come facemmo, l'inviluppo del complesso che giace in 7t, poiché la retta 

 fissata contiene infinite terne di punti corrispondenti dei tre sistemi (M) (M') (M"), 

 essa è doppia per l'inviluppo. Onde II complesso © (3> ammette 13 rette doppie. Una tal 

 retta appartiene a tutti i piani focali dei suoi punti rispetto a due connessi qua- 

 lunque del fascio. Quindi se diciamo corrispondenti due punti di essa che siano fochi 

 di un medesimo piano rispetto ai due connessi, otteniamo fra i punti stessi una cor- 

 rispondenza [22], che nelle sue quattro coincidenze ci dà quattro punti di y posti 

 sulla retta. Dunque Ogni retta doppia del complesso sega in quattro punti la curva 

 fondamentale t. — Se si considera una congruenza di raggi principali relativi a un 

 connesso del fascio, e quindi appartenenti a (3) , essa sarà rappresentata in S dai 

 punti di una superficie: ora da un punto generico di t escono due rette che sono 

 raggi principali di quella congruenza e che hanno per immagine quel punto : dunque 

 la curva r è doppia per tale superficie. Siccome poi ognuna delle 13 rette doppie è 

 rappresentata in S da tutti i suoi punti e la congruenza in questione contiene le 

 13 rette, segue che la superficie conterrà pure le stesse 13 rette: ma due congruenze 

 siffatte non hanno altra retta in comune fuori delle stesse 13 rette. Da ciò, e da 

 semplici calcoli segue : Le superfìcie che rappresentano in S le congruenze dei raggi prin- 

 cipali dei connessi del fascio, formano un fascio di superficie del 7° ordine: la curva 

 base del fascio si scinde nella linea x 6 nelle sue tredici quadrisecanti: la linea f è doppia 

 per ogni superficie del fascio. Essa quindi va contata quattro volte nella intersezione. 



Un caso particolare notevole di questo complesso del 3° grado si ottiene suppo- 

 nendo che due e quindi tutti i connessi del fascio abbiano comuni i 5 punti uniti. 

 Mostreremo che in tal caso il complesso (3) diviene il noto complesso di Montesano 

 formato dalle generatrici delle qicadriche di una rete. Infatti si osservi in primo luogo 

 che un punto unito comune a due connessi è vertice di una stella di raggi apparte- 

 nente interamente a (3) , rappresentata da quel solo punto, il quale è allora comune 

 e doppio per tutte le O. Inoltre ogni curva che rappresenti in S un cono del coni- 



