35 



SUI CONNESSI BILINEARI FRA PUNTI E RETTE NELLO SPAZIO ORDINARIO 



149 



nessi hanno dunque in comune una quadruplice infinità di elementi. — Le serie rigate 

 di I corrispondenti ai punti di S formano in Z un sistema algebrico razionale co 3 , 

 riferito proiettivamente ai punti di S. — Le serie rigate non variano se invece dei 



3 connessi dati 



/ r = Z c^XikX, = 

 (16) \ P = I c', Ks x lk x s = 



( r"=Hc", Ks x lk x s = 



si considerano tre connessi qualunque della rete 



XT + \T' + X'T"= 0. 



Per una retta di Z passa, in generale, una sola serie rigata del sistema oo 3 , 

 poiché vi è una sola terna di complessi corrispondenti nei tre connessi, che conten- 

 gono la retta. — Tuttavia esistono co 2 rette m per ognuna delle quali passano co 1 

 serie rigate corrispondenti a punti di S: queste rette non sono che le co 2 rette fon- 

 damentali degli co 2 connessi della rete e si possono ottenere in uno dei due modi 

 seguenti: o come rette in cui si segano terne di congruenze lineari corrispondenti 

 nei 3 sistemi di complessi relativi a tre complessi della rete; o come rette comuni 

 alle quaterne corrispondenti in quattro reti proiettive di complessi lineari. Poiché 

 i poli di un piano qualunque rispetto ai complessi delle 4 reti formano sul piano 



4 sistemi collineari, esistono in ogni piano 6 rette su ciascuna delle quali sta una 

 quaterna di punti corrispondenti nei 4 detti sistemi. E quindi Le rette m per cui 

 passano infinite serie rigate del sistema, formano una congruenza del 6° ordine e della 

 6* classe. — Nello spazio S le quadriche (C) relative agli co 2 connessi della rete for- 

 mano un sistema algebrico co 2 e si distribuiscono in co 2 sistemi quadratici co 1 cor- 

 rispondenti agli co 2 fasci della rete, per modo che due sistemi quadratici hanno una 

 quadri ca (C) in comune, quella relativa al connesso della rete comune ai due fasci 

 di connessi cui corrispondono i due sistemi quadratici di quadriche (C). Tutte le (C) 

 formano dunque una varietà C 2 41 normale del 4° ordine immersa in una varietà 

 lineare M 5 : gli Sì di M 5 che contengono le varietà Cf 1 di C :4) corrispondenti ai vari 

 fasci della rete giacciono, a coppie, in S 4 di M 5 inviluppanti una Mf di 3 a classe 

 e 4 a specie. — Un S 4 di M 5 rappresenta un sistema co 4 di quadriche contenuto nel 

 sistema lineare co 5 cui appartengono tutte le (C), il quale non ha in generale punti 

 base : però ai sistemi lineari co 4 aventi un punto base corrispondono in M 5 , co 3 S 4 

 costituenti una varietà Vf di 3 a specie e 8 a classe, perchè per ogni S 2 che rap- 

 presenta una rete, passano otto S 4 di tale natura. Se un S 4 della V ( 3 8) appartiene 

 alla W?\ ne contiene due S 2 seganti 0} ] in Cf, e si avranno nella rete due fasci di 

 connessi di cui i due sistemi corrispondenti di quadriche (C) hanno uno stesso punto 

 base. A un tal punto corrisponde in Z una serie rigata che si spezza in due 

 fasci, e viceversa ogni punto di S cui corrisponda in Z una serie rigata spezzata in 

 due fasci, è punto base comune a due reti di quadriche contenenti due sistemi qua- 

 dratici di quadriche (C) corrispondenti a due fasci di connessi della rete. Dunque 



