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EMILIO VENERONI 



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Il luogo dei punti di S cui corrispondono in Z serie rigate scindentisi in due fasci è 

 anche il luogo dei punti base delle reti determinate dagli oo 2 sistemi quadratici di qua- 

 driche (C) rispondenti agli oo 2 fasci della rete: ogni punto che appartenga al luogo, è 

 punto base, non di una, ma di due di tali reti. — Inoltre ritenute le notazioni altrove 

 usate (II, 19), la condizione perchè la intersezione di 3 connessi corrispondenti a un 

 medesimo punto (x) dei sistemi (16) si scinda in due fasci è data da 



(CCC 



(CC) (CC) (CC") 

 (C'C) (CC) (CC") 

 (C"C) (C'C) (C'C) 



la quale equazione che è del 6° grado nelle x T , mostra che: I punti di S cui cor- 

 rispondono in Z coppie di fasci formano una superficie del 6° ordine. Essa si può riguar- 

 dare come luogo delle intersezioni delle terne di quadriche corrispondenti delle 3 reti 

 proiettive 



X (CC) + X,(CC) + X 2 (CC") = 

 X (C'C) + \ 1 (C'C)+ X,(C'C") = 

 Xo(CC) + MC'C) + X 8 (C"C") = 0. 



Ma essendo 



(CC) = (CC) ; (CC") = (C'C) ; (C'C") == (C'C) 



le tre reti precedenti formano un complesso simmetrico e quindi la superficie generata 

 ammette 32 punti doppi (*), pei quali passano tutte le superficie (di 4° ordine, di 

 Cayley) generate da due fasci corrispondenti in due delle reti generatrici. Le coor- 

 dinate di tali punti annullano tutti i minori del determinante (C C C") e ciò vuol dire 

 che la serie rigata corrispondente a uno di questi punti si riduce a un fascio contato 

 due volte. Dunque La superfìcie del 6° ordine anzidetta possiede 32 punti doppi, pei 

 quali passano tutte le superfìcie di Cayley relative agli oo 2 connessi della rete, e a cui 

 corrispondono in Z serie rigate riducentisi a fasci contati due volte. 



Si supponga, ora, che le rette fondamentali sieno le stesse per tutti i connessi 

 della rete, e quindi sieno due rette comuni a tutte le serie rigate del sistema oo 3 . 

 Allora si ha: 1°. A un punto M di S corrisponde in Z una serie rigata contenente 

 le due rette fondamentali (a, b); 2°. Se M descrive un piano ju, la serie rigata cor- 

 rispondente descrive un complesso del 3° grado che ha due rette triple nelle rette a, b, 

 e che contiene 27 congruenze lineari, delle quali 6 godono della proprietà che in 

 ognuna di esse si segano i complessi che in tutti i connessi della rete corrispondono 

 a un certo punto M di S; 3°. A una serie rigata per le a, b, in Z, corrisponde 

 in S un unico punto; 4°. A un complesso di Z per le a, b, come luogo di serie rigate 



(*) Cremona, Mémoire de géom. pure sur les surfaces de III e ordre, pag. 27. 



