37 SUI CONNESSI BILINEARI FRA PUNTI E RETTE NELLO SPAZIO ORDINARIO 151 



per le a, b, corrispondono in S i punti di una superficie del 3° ordine V { ' conte- 

 nente 27 rette, delle quali G godono della proprietà che in ciascuna di esse si segano 

 i piani che in tutti i connessi della rete corrispondono a una medesima (retta, e 

 quindi) serie rigata per le (a, b). Risulta da ciò: Esiste in S una linea del 6° ordine 

 per cui passano tutte le superficie VV' ; e a ogni punto della quale corrisponde in Z , 

 anziché una serie rigata, una congruenza lineare. E così pure Esiste in Z una con- 

 gruenza del 6° grado formata da serie rigate per a, b, per la quale passano tutti i com- 

 plessi del 3° grado del n° 2 e a ciascuna (retta, e quindi) serie rigata per a, b della 

 congruenza corrisponde in S, anziché un punto, una retta. 



Detta y la linea del 6° ordine, e A la congruenza del 6° grado si ha subito che 

 alle serie rigate di A corrispondono le trisecanti di y e viceversa ai punti di y corri- 

 spondono congruenze lineari contenenti tre serie rigate di A. La curva t è del genere 3, 

 e quindi tre è anche il genere della rigata delle sue trisecanti, perchè questa risulta 

 biunivocamente riferita alle serie rigate di A, che è come luogo di queste, come y, 

 di genere 3. Si ricava quindi che la rigata stessa è dell'8 ordine, ha nella linea t 

 una linea multipla secondo 6, e non ha, fuori di t, linee nodali: se M è un nodo, 

 infatti, in M concorrono 2 trisecanti di t, e ad M corrispondono due serie rigate per 

 le a, b, ciò che non accade se ad M non corrisponde un'intera congruenza lineare, 

 cioè se M non è su y. Il luogo dei punti di S cui corrispondono in Z serie rigate 

 spezzate in due fasci è ancora una superficie del 6° ordine, che ha nella linea t una 

 linea doppia. — Infatti se una retta si appoggia a r, ai suoi punti corrispondono 

 in Z le serie rigate di una congruenza del 3° grado, che si scinde in una lineare, 

 e in una di 2° grado dotata di due rette doppie (le rette a, b) per le quali passano 

 4 coppie di fasci contenenti serie rigate degeneri della congruenza. La stessa super- 

 ficie del 6° ordine si può in infiniti modi ottenere come luogo dei punti nei quali s'in- 

 contrano i piani tangenti in tre punti corrispondenti di tre quadriche proiettive. Le tre 

 quadriche sono le quadriche (C) relative a tre connessi indipendenti della rete : si 

 corrispondono quei punti di esse che nei tre connessi determinanti la rete corri- 

 spondono a un medesimo complesso speciale avente per asse una retta appoggiantesi 

 alle a, b. — Considerando nella rete un fascio di connessi qualunque, vi sono in S 

 (IV, 20) 4 punti fondamentali a ciascuno dei quali nel detto fascio di connessi cor- 

 risponde in Z un complesso anziché una congruenza: è chiaro che La linea y può 

 riguardarsi come il luogo dei punti fondamentali dei fasci di connessi della rete. Inoltre 

 le quaterne stesse segnano su y i gruppi di una serie lineare g\\ è chiaro infatti 

 che due punti A, B di y appartengono ad una e una sola di tali quaterne: invero 

 ad A, B corrispondono in Z due congruenze lineari a, p, basi di due fasci di com- 

 plessi lineari, per modo che ogni complesso per a o P corrisponde ad A o B in un 

 fascio di connessi della rete: i connessi della rete si dispongono così in doppio modo, 

 in un fascio di fasci: il 1° fascio di fasci è formato da fasci di connessi aventi A 

 per punto fondamentale, e il 2° da fasci di connessi aventi B per punto fondamen- 

 tale. Questi due fasci di fasci hanno in comune un fascio di connessi pel quale A, B 

 sono punti fondamentali. Cioè A e B determinano una ed una sola quaterna che li 

 contenga. Ricordando poi che y è di genere 3, segue che la g\ ne è la serie cano- 

 nica ; cioè Le quaterne di punti fondamentali per i fasci di connessi della rete formano 

 su y i gruppi della serie canonica. 



