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SUI CONNESSI BILINEARI FRA PUNTI E RETTE NELLO SPAZIO ORDINARIO 



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possiede ottanta elementi doppi. — Questi ponno essere di due specie : o sono connessi 

 della 3 a categoria, oppure connessi una volta specializzati. Si vedo infatti con facilità 

 che un fascio di connessi cui appartenga un connesso dell'una o dell'altra natura 

 contiene fuori di esso solo sei connessi della 2 a categoria. Ora se il connesso A è 

 una volta specializzato, sono nulli i minori della matrice 



cioè, nello spazio lineare oo 3 dei connessi del sistema, tali connessi sono quelli comuni 

 agli S 2 corrispondenti dei 6 sistemi proiettivi 



e quindi (*) sono in numero di 20. Segue che In un sistema lineare oo 3 di connessi 

 esistono 60 connessi della ó' a categoria, e 20 connessi una volta specializzati. E poiché 

 le rette fondamentali formano un fascio per un connesso della 3 a categoria, e una 

 serie rigata per un connesso una volta specializzato, ponendo mente alla doppia ge- 

 nerazione del complesso si ha II complesso contiene 120 fasci e 40 serie rigate 

 divisi in due sistemi di 60 fasci e 20 rigate ciascuno, rispondenti alle due generazioni 

 di 0. — Notiamo infine che se tutti i connessi del sistema oo 3 hanno la stessa coppia 

 di rette fondamentali, quattro complessi corrispondenti in 4 connessi a un medesimo 

 punto di S, non hanno in generale, all'infuori di detta coppia, altre rette in comune; 

 e se ne hanno un'altra, hanno in comune una serie rigata passante per le due rette 

 fondamentali. I punti cui corrispondono in I tali serie rigate formano una superficie 

 del 4° ordine in S, e le serie rigate formano un complesso del 4° grado, in I, come 

 facilmente si può verificare. 



24. — Come ultimo argomento tratteremo di un particolare sistema lineare oo 1 

 di connessi bilineari, tale che per tutti i connessi del sistema la corrispondenza fra 

 i punti di S o i loro piani focali è la medesima per tutti i connessi del sistema. — 

 Si è visto, per limitarci al caso fondamentale in cui i punti uniti abbiano posizione 

 generica, che un connesso della l a categoria è determinato completamente, dati i 

 cinque punti uniti e le due rette fondamentali. Queste poi, si è notato, sono raggi 

 principali per il sistema delle quadriche (Q) relativo al connesso dato. — Tale sistema 

 di quadriche è, d'altra parte, completamente determinato dalla condizione di avere 

 i cinque punti uniti come punti base e di avere le due rette fondamentali come raggi 

 principali: infatti ciò equivale a dire che al sistema debbono appartenere i due fasci 

 di quadriche che hanno per base una delle rette fondamentali e la cubica gobba che 

 passando pei cinque punti uniti ha per corda la retta: tali due fasci di quadriche 



(*) Cremona, loc. cit. 



Serie II. Tom. LI. t 



Vta.t,! -f- v t a lK o + v 3 a„. 3 -4- v 4 ot„. 4 = 



VI. 



