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SUI CONCESSI BILINEARI FRA PUNTI E RETTE NELLO SPAZIO ORDINARIO 155 



Nel nostro caso si hanno identicamente, posto 



( (r) I II III iv 



= Ar r = 1.2 ( 8,4 



le seguenti relazioni 



X"< = y r 



(C' r) C (r1 ) — (rM») _ f ? " ? nr iv 



(Cw'Cf'0 = 



e quindi il sistema delle quadriche (C) relativo al sistema di connessi omofocali è 



x(cc) -f x'(cc') -f x"(cc") + x'"(cc") 4- x ,v (cc iv ) = o 



la quale mostra che: Le quadriche (C) relative agli co 4 connessi omofocali formano un 

 sistema lineare co 4 proiettivo al sistema di connessi omofocali. 

 Si osservi poi che è 



(CC (,) ) = I fc , s c a ., s x k x s = Qi 



ciò che dice (II, 8) : Nella detta proiettività ai connessi a sezioni identiche corrispondono 

 le quadriche (Q) relative ai centri dei connessi stessi, in un qualunque connesso non 

 degenere del sistema. 



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25. — Che le quadriche (C) relative ai connessi omofocali del sistema debbano 

 formare un sistema lineare, si vede, anche per via sintetica, ben tosto. Se si con- 

 sidera infatti l'intersezione di due di tali quadriche, ad ogni suo punto corrispondono, 

 nei due connessi di cui le date sono le quadriche (C), due complessi speciali i cui 

 assi devono giacere nel piano focale del punto rispetto a un connesso qualunque del 

 sistema: segue tosto che a quel punto in ogni connesso del fascio determinato dai 

 due considerati, deve corrispondere un complesso speciale il cui asse giaccia nel 

 piano focale del punto ; onde II sistema delle quadriche (C) contiene tutto il fascio 

 determinato da due sue quadriche qualunque, cioè è un sistema lineare. Anche la cor- 

 rispondenza biunivoca fra i connessi omofocali e le quadriche (C) (le quali, si noti, 

 passano tutte per i cinque punti uniti) risulta da ben semplici considerazioni geome- 

 triche. Infatti, non solo di un connesso del sistema è determinata la quadrica (C), 

 ma anche, data una quadrica qualunque per i 5 punti uniti, è determinato in modo 

 unico un connesso del sistema confocale per il quale essa è quadrica (C) : infatti su 

 tale quadrica si trovano solo due cubiche passanti per i cinque punti uniti, le quali, 

 fuori delle congiungenti due a due i punti uniti, hanno, ciascuna, una sola corda, 

 che sia raggio principale per il sistema delle quadriche (Q). Il connesso che ha tali 

 corde per rette fondamentali, e per punti uniti i cinque punti comuni alle (Q), è il 

 connesso richiesto. — Questa e la precedente osservazione conducono di nuovo a 

 concludere che la corrispondenza fra le quadriche, per i cinque punti uniti e i con- 

 nessi omofocali, è proiettiva. 



