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EMILIO VENERONI 



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TI ragionamento ora esposto non soffre, riguardo alle conclusioni, eccezione 

 nessuna, come d'altronde confermano i risultati analitici. Occorre tuttavia modificarlo 

 quando la quadrica (C) non sia generica per i punti uniti. In primo luogo si supponga 

 che la quadrica (C) sia un cono il cui vertice non sia uno dei punti uniti. Il vertice- 

 di tale cono determina l'unica cubica che passando pei cinque punti uniti giace sul 

 cono, e si trova, come prima, una sola retta fondamentale; e infatti il connesso 

 corrispondente al cono deve essere della 2 a categoria. — Di ogni punto del cono è 

 determinato l'asse del complesso speciale corrispondente, che è la retta in cui si 

 segano il piano focale del punto, e il piano che dal punto proietta l'unica retta fon- 

 damentale del connesso. — E il connesso è ben definito. 



Se poi si assume come quadrica (C) una coppia di piani, di cui l'uno contenga 

 una terna, e l'altro una coppia dei cinque punti uniti, il connesso della 3 a categoria 

 per cui tale coppia di piani è quadrica (C), ha per rette fondamentali il fascio di 

 raggi principali del sistema che giace nel piano singolare di 1° ordine contenente 

 la coppia di punti uniti per cui passa il secondo piano componente (C), e di ogni 

 punto sia dell'uno che dell'altro piano componenti (C) si può costruire l'asse del 

 complesso speciale corrispondente. E il connesso è ben determinato. Si osservi che 

 fra i connessi confocali ve ne sono oo 1 della 3 a categoria cui compete un medesimo 

 fascio di rette fondamentali, che si ottengono variando il piano componente (C) 

 intorno ai punti uniti della coppia. Si hanno, quindi, nel sistema confocale, dieci fasci 

 di connessi della 3 a categoria. 



Se in terzo luogo si assume come quadrica (C) una quadrica del sistema (Q), 

 relativa a un punto P di essa, le due cubiche gobbe poste su (Q) e passanti pei 

 5 punti uniti, hanno per corde i due raggi principali del sistema (Q), che escono 

 da P, che sono generatrici della quadrica (Q) relativa a P. A ogni punto di questa 

 dovendo pertanto corrispondere un complesso speciale il cui asse deve essere posto 

 sul piano focale del punto, piano che passa per P (per la nota definizione della qua- 

 drica (Q) relativa a P), tale asse sarà la retta che congiunge il punto scelto con P. 

 Onde nel connesso che ha la quadrica (Q) come quadrica (C), tutti i punti di (Q) 

 sono uniti : lo sono pertanto tutti i punti di S e il connesso è a sezioni identiche di 

 centro P, come noi già vedemmo analiticamente. L'assumere una quadrica (Q) come 

 quadrica (C) equivale ad assumere per rette fondamentali di un connesso confocale, 

 due raggi principali incìdenti e non appartenenti a un fascio di raggi principali. Il 

 connesso è ancora determinato, ma è il connesso degenere a sezioni identiche che 

 ha il centro nell'incontro dei due raggi principali scelti. 



Notiamo ancora che alla congruenza dei raggi principali appartengono, com'è 

 noto (*), cinque serie co 1 di serie rigate, essendo ciascuna serie coordinata a un 

 punto unito per modo che le quadriche su cui stanno le rigate della serie passano 

 per gli altri quattro e non per il primo. — Se allora per quadrica (C) si assuma 

 un cono quadrico avente il vertice in uno dei punti uniti, le cubiche per i cinque 

 punti poste sul cono, sono infinite: e tra le loro corde quelle che sono raggi prin- 

 cipali formano precisamente una rigata della serie coordinata al punto unito con- 



(*) Cfr. Sturm, Liniengeometrie, Bd. II, S. 229 e seg. 



