43 SUI CONNESSI BILINEARI FRA PUNTI E RETTE NELLO SPAZIO ORDINARIO 157 



siderato. — Quindi il connesso ha in questo caso infinite rette fondamentali formanti 

 una serie rigata ed è pertanto un connesso tìfici volta specializzato. D' altronde ciò 

 risulta anche nel modo seguente : se si prendono per rette fondamentali di un con- 

 nesso omofocale che si voglia costruire, due rette poste sopra una medesima serie 

 rigata coordinata a uno dei punti uniti, il connesso che si ottiene è certamente dege- 

 nere, poiché le rette che dai quattro punti uniti fuori del considerato si appog- 

 giano alle due rette fondamentali scelte appartengono alla medesima serie rigata, 

 mentre i quattro punti non sono su un piano. — Questi quattro punti sono i punti 

 uniti del connesso degenere, e il punto unito escluso è il suo punto fondamentale (14). 

 Si hanno quindi nel sistema confocale 5 fasci di connessi una volta specializzati. 



26. — Non è priva di interesse la rappresentazione del sistema lineare dei 

 connessi omofocali sopra i punti di un S 4 che si riferisca proiettivamente al sistema. 



— Ai connessi a sezioni identiche corrispondono nell'S 4 i punti di un S 3 , proiettivo 

 nei suoi punti al sistema delle quadriche (Q), mentre l'S 4 è nei suoi punti proiettivo 

 alle quadriche passanti pei 5 punti uniti. — I punti di S 4 che corrispondono a con- 

 nessi omofocali della 2 a categoria formano nell'S^ una varietà V£ 4) del 4° ordine e 

 della 5 a specie. Infatti in un fascio di quadriche per i 5 punti uniti giacciono 4 coni 

 e quindi In un fascio di connessi omofocali vi sono solo quattro connessi della 2 a cate- 

 goria. — Osservando poi che ogniqualvolta il fascio di quadriche assunto contiene 

 una quadrica scissa in una coppia di piani, oppure un cono avente il vertice in uno 

 dei punti uniti, in esso non sono contenuti che altri due coni, ne verrà: Ai dieci fasci 

 di connessi della 3 a categoria, e ai cinque fasci di connessi degeneri (una volta specia- 

 lizzati) contenuti nel sistema confocale, corrispondono nell'Sn quindici rette, doppie per 

 la Y^. Di più tutti i connessi del sistema che hanno una data retta fondamentale 

 formano una rete, quella che corrisponde alla rete delle quadriche che passano per 

 la cubica gobba pei 5 punti uniti avente per corda la retta. — A tali connessi cor- 

 risponde allora in S 4 un S 2 , e tutti gli S 2 che così si ottengono, formano nell'S 4 una 

 congruenza del 2° ordine, perchè per ogni punto di S 4 passano i due S 2 relativi alle 

 due rette fondamentali del connesso corrispondente al punto. E poiché per un con- 

 nesso della 2 a categoria le due rette fondamentali coincidono, si ha: La V!, 1 ' è varietà 

 focale per la congruenza dei piani S 2 . Inoltre poiché i coni appartenenti a una rete 

 avente per base una cubica gobba pei 5 punti uniti formano nella rete un sistema 

 quadratico, I piani S g toccano Vi 4 ' lungo coniche. L' S 3 tangente a V 3 4 ' in un punto 

 d'una di tali coniche deve contenere l'S 2 su cui sta la conica ; onde L'inviluppo degli 

 spazi tangenti a V 3 4) è formato dai fasci di S 3 aventi per base i piani S 2 della anzidetta 

 congruenza. A un S 3 qualunque di S 4 corrispondono nello spazio S dei connessi le 

 quadriche di un sistema oo 3 , che fuori dei punti uniti non ha in generale punti base. 



— Ma se l'S 3 passa per un S 2 della nominata congruenza, il corrispondente sistema 

 lineare oo 3 dovendo contenere una rete con una cubica gobba base, ha un 6° punto 

 base, fuori dei cinque punti uniti. Discende quindi: A un S 3 che tocchi V!, 4) corrisponde 

 in S un unico punto, e viceversa a un punto di S corrisponde nell'S± un S 3 tangente 

 alla V' 3 4J nel punto immagine del cono quadrico che ha il vertice nel primo punto di S 



