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MODESTO PANETTI 



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5. Interpretazione geometrica del procedimento. — Consideriamo le ellissi di 



elasticità G a , G p e G delle travi A u P ì e del sistema Al\ per la sezione comune S'\, 

 e rammentiamo che l'ellisse G fu dedotta (N° 2) dalle altre due, ricorrendo al seguente 

 principio: Una forza qualunque R applicata in S" \ e producente un determinato sposta- 

 mento si decompone in due F a ed F p tali che le travi A e P, , sulle quali dette forze 

 agiscono, supposte svincolate, subirebbero nelle sezioni finali S"i lo stesso spostamento. 



Dunque i centri di rotazione relativi alle tre forze R, F a ed F p devono coinci- 

 dere, o, in altre parole, esiste un punto 0, che è simultaneamente l' antipolo delle 

 loro linee d'azione r, a e p rispetto alle corrispondenti ellissi G, G a e G p . Inoltre le 

 rette r, a e p si devono intersecare tutte e tre in tino stesso punto 0', poiché lungo r 

 agisce la risultante delle forze operanti lungo a e p. 



Inversamente, siano date tre ellissi, tali che le rispettive antipolari r, a e p di 

 un punto qualunque concorrano in un altro punto 0', sarà sempre possibile fissarne 

 i pesi elastici in modo che qualsiasi forza avente per linea d'azione la r, decompo- 

 nendosi in due altre secondo a e p, soddisfi alla condizione enunciata nel principio 

 fondamentale ed espressa dalle (1) e (2). 



6. — Cosi il problema meccanico è ridotto ad un problema geometrico, che si 

 risolve studiando la corrispondenza definita da una coppia di ellissi G a e G p fra i 

 punti ed i punti 0', in cui si intersecano le antipolari a e p di (Fig. 2). 



Una tale corrispondenza è reciproca, poiché le antipolari a' e p' di 0' devono 

 passare per 0. 



Se percorre una punteggiata s, di cui siano S a ed S p gli antipoli, le antipo- 

 lari a e p di descriveranno i due fasci di centri S a ed S p . Ciascuno di questi fasci 

 è in involuzione colla punteggiata descritta da 0, dunque essi sono proiettivi fra 

 loro; ed il luogo dei punti 0' intersezione degli elementi omologhi è una conica pas- 

 sante per S a ed S p . 



In particolare, se s é la retta all'infinito, i punti S a ed S p coincideranno coi 

 centri G a e G p delle ellissi; i due fasci proiettivi generatori della conica saranno i 

 fasci dei diametri delle due ellissi. 



Ora fra le coppie di elementi corrispondenti in questi fasci ne esisteranno sempre 

 due coi raggi omologhi paralleli. Invero, se spostassimo parallelamente uno dei fasci 

 di diametri fino a divenire concentrico all'altro, avremmo due forme involutorie sovrap- 

 poste, ellittiche, per le quali è sempre possibile trovare una coppia di elementi coniu- 

 gati in entrambe. Siano x ed y le direzioni definite da questi elementi; i loro punti 

 all' od si corrispondono in doppio modo, dunque appartengono alla conica j, che cor- 

 risponde alla retta all' oo, ed è per conseguenza un'iperbole. 



7. — Consideriamo il raggio G a G p e i suoi coniugati y a e t p nelle involuzioni 

 dei diametri delle ellissi G a e G p . Il punto G a è il corrispondente del punto all' oc 

 nella direzione f p , il punto G p di quello nella direzione t - 



Siccome poi l'involuzione dei diametri di un'ellisse è tale che due coppie di 

 elementi coniugati si separano, dovranno i raggi y a e f P , coniugati di un medesimo 

 elemento, trovarsi nello stesso angolo a formato dagli elementi paralleli agli assin- 

 toti x ed y. Si immagini ora che un raggio del fascio G a parta dalla posizione x a e 



