314 



MODESTO PANETTI 



8 



L'intersezione W di u con v è tale che le sue antipolari rispetto a G a ed a G p 

 coincidono nella UV=w, quindi W appartiene all'iperbole ed è il 3° punto ecce- 

 zionale del sistema, e forma con U e V un triangolo antipolare rispetto ad entrambe 



le ellissi G a e G p . 



Intanto, poiché ogni retta del piano deve tagliare i tre lati u, v, u\ le coniche 

 corrispondenti passeranno pei tre vertici del triangolo antipolare, e sai'anno iperboli, 

 parabole, od ellissi, secondochè le rette a cui corrispondono tagliano, toccano o non 

 hanno nessun punto comune coll'iperbole Come caso particolare, se una retta passa 

 per un vertice U del triangolo, la conica degenera in una coppia di rette, una delle 

 quali è il lato opposto u e l'altra passa per U. 



9. — Ammettiamo che esistano altre ellissi tali che l'antipolare di un punto 

 qualunque rispetto ad esse passi pel corrispondente punto di concorso 0' di a e 

 Ai p; il triangolo U, V, W sarà anche per esse antipolare. Ne risulta che i centri 

 di queste ellissi devono essere interni al triangolo. In oltre essi apparterranno 

 all'iperbole In fatti il fascio di raggi che da uno qualunque di questi centri G 

 proietta i punti dell'iperbole, considerato come fascio delle antipolari dei punti all'oo del 

 piano, è proiettivo ai fasci che da G a e G v proiettano la stessa iperbole. E in questa 

 proiettività si devono corrispondere i raggi che passano pel medesimo punto dell'iper- 

 bole, in virtù della proprietà fondamentale delle ellissi G, G a e G p . Dunque il fascio G 

 si può considerare come un fascio generatore dell'iperbole, alla quale per conseguenza 

 il suo vertice appartiene (*). 



Inversamente: se G è un punto del segmento UV dell'iperbole j, i due fasci di 

 raggi col centro in G che proiettano la retta all' ce e l'iperbole sono proiettivi, cor- 

 rispondendosi gli elementi che appartengono a punti omologhi. Fra queste coppie 

 notiamo quella dei punti all'oo degli assintoti xy ; essi si corrispondono in doppio 

 modo : lo stesso accadrà quindi dei raggi appartenenti ai due fasci col centro in G, 

 che li proiettano, dunque questi fasci sono in involuzione. 



Di più l'involuzione è ellittica. Infatti consideriamo un raggio z appartenente 

 all'angolo a formato dai raggi x ed y uscenti da G. Il suo omologo taglierà in un 

 punto P dell'iperbole / il diametro del fascio G a coniugato alla direzione z ; dunque P 

 apparterrà all'angolo 8 formato dai raggi x a ed y a uscenti da G a . 



Ma è noto che, se da differenti punti presi su di uno stesso ramo di iperbole 

 si conducono coppie di rette parallele agli assintoti, ciascuna delle quali limita quindi 

 due regioni (angoli) di ampiezze a e p costanti, ogni punto della curva apparterrà 

 simultaneamente a tutti gli angoli a o a tutti gli angoli R. 



Si può dunque concbiudere che il punto P e per conseguenza il diametro coniu- 

 gato di z si troveranno nell' angolo 8 formato dai raggi x ed y uscenti da G, cioè 

 che due coppie di elementi coniugati si separano. 



L'involuzione di raggi così determinata si può dunque considerare come l'invo- 

 luzione dei diametri di una ellisse. Detta ellisse resta poi determinata, se si calcola 



(*) In ciò consiste la ragione geometrica del parallelismo delle antipolari a e p del centro G 

 rispetto alle ellissi G a e Gp, constatata nella 3 a operazione del N° 2. Allora non si era potuto darne 

 che una prova indiretta- 



