9 CONTRIBUTO ALLA TRATTAZIONE GRAFICA DELL' ARCO CONTINUO, ECC. 315 



la grandezza di uno dei suoi diametri, per esempio di quello disteso sulla retta UG, 

 in modo che l' antipolare di U sia u. E facile dimostrare che questa ellisse è una 

 soluzione del problema. 



Infatti, preso un punto qualunque nel piano, si consideri la retta m, che lo 

 congiunge ad U, e gli antipoli M a , M p ed M rispetto alle ellissi G a , G v e G. Tanto 

 rispetto alla coppia di ellissi G a G p quanto rispetto alla G a G il luogo corrispondente 

 alla m è una coppia di rette risultante della « e di un'altra retta che passa per U 

 e per il punto I dell'iperbole j, che in entrambe le corrispondenze è l'omologo del 

 punto all'co di m. Dunque i fasci di antipolari M a ed M p ed i fasci M a ed M proiet- 

 tano una medesima retta. In particolare le antipolari di un punto concorrono in 

 un altro punto 0' (*). 



10. — Concludendo : Date due ellissi G„ e G p in un piano, ne esistono infinite 

 altre, le quali godono con esse della proprietà che le antipolari di un punto qualunque 

 convergono tutte in uno stesso altro punto 0'. Il luogo dei loro centri è un arco dell'iper- 

 bole, che contiene gli omologhi dei punti all' ce del piano, ed i cui assintoti danno in 

 direzione la coppia dei diametri coniugati, che si conserva parallela in tutte le ellissi 

 del sistema. I punti estremi del luogo sono i vertici UV del triangolo antipolare comune. 



Applichiamo al problema del N° 2 le conclusioni dedotte, osservando che 

 l'ellisse G appartiene al fascio di ellissi definito dalla coppia G a G v . Risulta imme- 

 diatamente che una forza R avente per linea d'azione uno qualunque dei lati del 

 triangolo antipolare, per esempio, il lato u, si decompone in due altre F a ed F p , 

 agenti rispettivamente sull'arco A e sulla pila 1\, che hanno ancora la stessa linea 

 d'azione. 



È facile dedurre la grandezza di queste componenti, rammentando che la rota- 

 zione della sezione S, a cui le forze sono applicate, dev'essere la stessa, conside- 

 randola come sezione finale sia dell'arco A sottoposto ad F a , sia della pila F t 

 sollecitata da F p , o come sezione intermedia del complesso AP X sotto l'azione 

 di R. Dette perciò ò, b a e b p le distanze di G, G a e G p dalla linea d'azione comune, 

 si ha : 



Rgb = F a g a b tt = F p g p b p : 



e quindi le forze F p ed F p si possono calcolare, moltiplicando la R per un coefficiente 

 numerico noto e costante (**). Supponiamo dedotti questi coefficienti per le tre dire- 

 zioni invariabili u, v, w. Allora, data una forza qualsiasi agente sul complesso AP X , 

 la si decomponga in tre altre aventi per linee d'azione le direzioni suddette. Di 

 ciascuna di esse si calcoli la F a e la F p corrispondente. La risultante delle forze F a è 

 l'azione sopportata dall'arco A; quella delle F p opera sulla pila P,. 



Così l'operazione fondamentale del problema di statica, che ci proponiamo di 

 svolgere, si può eseguire in modo semplice senza ricorrere alle ellissi di elasticità, 



(*) I risultati dei N' 8 e 9 si possono dedurre da proprietà note dei fasci di coniche, conside- 

 rando le due ellissi immaginarie definite dalle antipolarità rispetto a G a e G v . 11 fascio da esse 

 determinato dà le altre infinite antipolarità che qui occorrono. Si preferì tuttavia questo procedi- 

 mento come più conforme all'indole di uno studio di ingegneria applicata. 



(") Dev'essere inoltre soddisfatta l'uguaglianza F a -\- Fp== R, che permette una verifica. 



