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Se tiene 



f ' (x) = O = 2X — 6 



y se ve que 



x = 3 



que es un valor intermedio entre 2 y 4. 



Con estos antecedentes, vamos a separar las raíces 

 reales de una ecuación algébrica. 



La función f (x) pudiendo sufrir entre a y b alter- 

 nativas de incremento y de disminución, resulta que la 

 derivada puede anularse muchas veces en el intervalo; 

 se encuentran entonces muchas raíces de la ecuación 

 derivada comprendidas entre dos raíces consecutivas de 

 la ecuación propuesta. 



Luego, dos raíces consecutivas a\ b', de la ecua- 

 ción derivada pueden no comprender ninguna raíz de 

 la ecuación propuesta; pero dichas raíces no compren- 

 den jamás más de una raíz. En efecto, si en el inter- 

 valo a! b' se encontraban muchas raíees de la ecuación 

 propuesta, tomando dos consecutivas a, b de estas raí- 

 ces, se tendría en la ecuación f (x) = o, dos raíces con- 

 secutivas que no comprenden ninguna raíz de la ecua- 

 ción derivada, lo que es inadmisible. 



Resulta de ésto que, si se sabe encontrar las raíces 

 de la ecuación derivada, se podrá saber el número de 

 raíces reales de la ecuación propuesta. 



Designemos por a\ b', c' . . . ./', las raíces reales de 

 la ecuación derivada ordenadas según su magnitud; 

 reemplacemos sucesivamente x en í (x) zz o, por 



~ 00, a', b' , 1', + co 



Si los resultados de dos substituciones consecuti- 

 vas son de signos contrarios, hay en el intervalo corres- 

 pondiente una raíz de la ecuación y una sola. 



Si los resultados son del mismo signo, no hay en el 

 intervalo ninguna raíz de la misma ecuación, puesto que 

 no puede haber más de una. 



En resumen, ya se sabe que el cambio de signo es 



