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señal de la existencia de una raíz real de la ecuación 

 f (x) =.o. Entonces las raíces de la ecuación deriva- 

 da, permiten separar las raíces reales de la eeuación 

 propuesta. 



Luego si m es el número de raíces reales de la 

 ecuación derivada, m+i será él de los intervalos y en- 

 tonces la ecuación f (x) zz o tendrá a lo más m-\-e raí- 

 ces reales. 



De ésto se deduce que, cuando una ecuación tiene 

 todas sus raíces reales, sucede ¿o mismo con la ecuación 

 derivada correspondiente. 



Porque considerando una ecuación del grado 

 cuyas m-\-\ raíces reales ordenadas en el sentido cre- 

 ciente, sean 



a, b, c, .h, k, 1 



resulta que hay m intervalos, por existir m-f-i raíces 

 reales. Entre cada grupo de dos raíces, se encuentra 

 una raíz de la ecuación derivada y una sola. 



Las m raíces de la ecuación f ' (x) zz o con así 

 reales- 

 Teorema. — Si en un polinomio se da a x y valores ca- 

 da vez más grandes o valores cada vez más pequeños, 

 este polinomio conserva el signo de su primer término o 

 del último respectivamente. 



i? Sea el polinomio 



A x m +A 1 x m - 1 +A 1 x m - I +- - - .+Am- lX +A m 



que puede escribirse 



Ai A2 A m -j Am 



x ffi (A +— + — + + + ) 



X X 1 x 111 - 1 x 



Si x aumenta indefinidamente, los términos que 

 contienen x como denominador, tienden hacia cero, por 

 consiguiente la expresión entre paréntisis se aproxima 



