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En la ecuación 



+ x 5 — 3 x 4 — 2 x 5 + x* -f 7 x — 8 z= o 



v 



presenta tres variaciones y dos permanencias. 



Las variaciones, lo mismo que las permanencias, 

 cambian, cambiando j en — x. Efectivamente, tene- 

 mos: 



— x 5 — 3X 4 -f- 2x 3 -f x z — jx — 8 — o 

 p y 



y vemos que hay dos variaciones y dos permanencias. 



Vamos a demostrar que el númeio de variaciones, 

 corresponde al número de raíces positivas y con este 

 objeto, se considera el teorema siguiente: 



Una ecuación algébrica f (x) — o, cuyo primer 

 miembro es una función racional y entera en x % no pue- 

 de tener más raices positivas, sino co?no el númnro de 

 variaciones de signos existen entre sus coeficientes. 



La misma ecuación no puede tener más raíces ne- 

 gativas, sino como el número de variaciones de signos 

 existen en los signos de sus coeficientes, cuando se cam- 

 bia x en — x. 



Así, en el ejemplo propuesto, no hay más de ires 

 raíces positivas y dos raíces negativas. 



i? Raíces positivas. — Propongámosnos demostrar el 

 teorema en el sentido de que, si es admisible para una 

 ecuación del grado m — i, será verdadero para una 

 ecuación de grado m. 



Sea la ecuación 



f (x)=x ra +A 1 x m - 1 +A 2 xro- 2 -f- +Apx m - p +A ra =o 



Designemos por V el número de variaciones de su 

 primer miembro y/i, p % , ... , p*, las raíces positivas en 

 n úmero k y ordenadas según su magnitud. 



