— i3i — 



Se va a probar que se tiene 

 V> k 



En efecto, consideremos la derivada de la ecuación 

 propuesta 



V (x)zzmx ra - 1 +(m— i)Aix m - 2 + + (m— p)A P x m -p-i 



cuyos términos tienen el mismo signo que f (x), habien- 

 do desaparecido el último término. Entonces esta úl- 

 tima ecuación, tendrá el mismo número V de variacio- 

 nes o un número V — \, menor de una unidad, según 

 que los términos A P x m -p, Am, formarán o no una varia- 

 ción que bien ha podido desapareeer. 



Supongamos los términos Ai>x ni - P , A™, del mismo 

 signo. 



La derivada P (x) tiene entonces el mismo número 

 de variaciones que f (x); vamos a ver que tiene también 

 k raíces positivas, por lo menos. 



Se sabe que las raíces positivas de la ecua ion 

 propuesta siendo p v [ 2 ----p, la derivada tiene una 

 por lo menos, entre pi y p 2 , otra entre p 2 y p 3 , etc., 

 otra entre p k -j y pk, es decir, k — i raíces positivas. 

 Además, hay otra raíz comprendida entre o y p v lo cual 

 completa el número k Sustituyamos en el primer 

 miembro de P (x) los dos números /¿, p x — h\ por la 

 substitución del más pequeño h, P (x) tomará el signo 

 del término que contiene h con el menor exponente, es 

 decir el signo de A p . 



Por la substitución de p x — k, p x siendo la raíz, 

 P (x) tomará un signo contrario al de f (x). Enton 

 ees la ecuación propuesta, no teniendo ninguna raíz en- 

 tre o y p v ni por consiguiente, entre o y p x — k, f (o) y 

 f (p x — h) son del mismo signo, Así f (o) = A m ; 

 f (pj — h) es del signo QAie A m , por consiguiente del 

 mismo signo que A P ; luego P {p x — h) es del signo con 

 trario al de A P . Pues, como hemos visto, P (h) es del 

 mismo signo que A P ; f (p x — h) y P (h) son de signos 

 diferentes y en fin la ecuación P (x) o admite una 

 raíz positiva comprendida entre h y p x — k, o lo que es 



