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Para que un número a sea n veces raíz de una 

 ecuación algébrica f (x) = o, es necesario y suficiente 

 que, puesto en vez de x t anule el polinomio y sus n — i 

 primeras derivadas. 



Reemplazando x por a -f- (x — a), 

 se puede escribir 



f (x) = f [a + (x - a)] 

 Aplicando la serie de Taylor, se tiene 



(x-a)' 



f(x)=f(a)+(x-a)f'(a)+ f " (a) + 



(x — a) n 



+ f ( n ) (a) + - - - - 



o! 



Si a anula f (a), f (a), , f ( n - J ) (a), 



los términos que quedan en el segundo miembro, con- 

 tendrán (x — a) n , de suerte que f (x) es divisible por 

 (x — a) n , es decir que f (x) admitirá la raíz # con orden 

 de multiplicidad n, como ya se ha visto de otra manera. 



Para demostrar que la condición es necesaria, su- 

 pongamos que f(x) siendo divisible por (x — a) n y 

 f( p ) (x) siendo la primera de las derivadas de f (x) que 

 no se anula por x=a, se tenga p < n, entonces se 

 tendrá 



f(x) f(p)(a) f(>+ l )(a) 



(x - a) + . . . . 



(x-a)*> p! (p+0 ! 

 H m ) (a) 



H (x — a)™^ 



m! 



igualdad que resulta imposible, desde luego que la ene- 



