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sima derivada conteniendo por hipótesis (x — a) n como 

 factor, y n siendo mayor que el primer miembro se 

 anula cuando x = a y el segundo toma el valor 



f( p ) (a) 



Í>1 



que es diferente de cero. Entonces p > n y la condi- 

 ción enunciada, es necesaria y suficiente. 

 De lo cual se desprende: 



Para que un número a sea n veces raíz de una 

 ecuación f ( x) = o, es necesario y suficietite que, puesto 

 en lugar de x> anule el polinomio f (x) y que sea ade- 

 más n — i veces raíz de la ecuaeión derivada 



V (x) = o 



Tenemos ya 



f (a) = o; f (a) = o, . . . .f (V 1 ) (a). = o 



Pues, las n — i últimas ecuaciones, expresan que 

 a es raíz de la ecuación f (x) — o y de sus n — 2 pri- 

 meras derivadas y por consiguiente, que a es n — 1 ve- 

 ces raíz de la ecuación f (x) zz o. 



Según ésto, si se tiene 



f (x) = (x — a) n (x — b) p (x — c) 1 



se tendrá también 1 



f (x) = (x — a) n - l (x — by- l (x — c)«- 1 



Luego el polinomio f (x) y su derivada f (x) admi- 

 tirán los factores comunes (x — a) n -\ (x — b) p -\ .... 

 Además, no podrán admitir otros, puesto que si el fac- 

 tor x — / aparecía a la vez en f (x) y f (x), correspon- 

 dería a una raíz doble de la ecuación f (x) = o. 



Entonces de una manera general, el máximo co- 

 mún divisor de f (x) y f (x) es formado de todos los 



