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Xm (X — l)^NXM- B + 1 



f(x)> 



X — I 



Ahora f (x) será positiva, si se tiene a la vez 



x> i; x m (x— i)— Nxm- n +> o 

 Entonces la segunda desigualdad, se hace 

 X a - 1 (x — i) — N > o; 



x > i +VÑ 



Se ve que el segundo miembro es un límite supe- 

 rior de las raíces positivas y si N > i, N + i será con 

 mayor razón dicho límice superior. 



2? Regla de Newton. — Todo número que vuelve 

 positivo el primer miembro de una ecuación algébrica y 

 todas sus derivadas, es un límite superior de las raíces 

 positivas. 



Sea a un número que vuelve positivo el polinomio 

 f (x) y todas sus derivadas, h una cantidad positiva; se- 

 gún la serie de Taylor, se tiene: 



h h* h Q 



f (a+h)=f (a)+— f (a)+-f»+. . . .+ -f( ü )(a)+ 



i ! 2 ! n ! 



Si f (a), f (a),.. ..son positivas, lo mismo que k\ 

 f (a + h) será también, cualesquiera que sea el valor de 

 h\ entonces a es un límite superior de las raíces posi- 

 tivas. 



Aclaremos estos particulares con un ejemplo. 

 Sea la ecuación 



x 5 +7x 4 — i2x 3 — 49x 2 +52x— 13 zzo. 



Por la regla de Lagrange, se tiene 



