20 SULLE VARIETÀ CUBICHE DELLO SPAZIO A QUATTRO DIMENSIONI 



La superficie del 6" ordine dotata di sestica cuspidale e di (quattro e quindi) 

 cinque piani doppi ha otto punti doppi la cui distribuzione su quei piani può 

 rappresentarsi così : 



oc r j4-,^ y 



0-J3 : 31" ; 7^^-. A,A^M' M" 



a,,: A.A^N'N" ■ a,,: A,A^N'r . 



La superficie è focale xnr quattro sistemi (3, 4) che corrispondono in un certo senso 

 agl'indici inferiori di quella notazione. Così il 1° sistema ha tre fasci di raggi di 

 centri A^A^A^ situati risp. nei piani a, c^g, , quattro coni quadrici uscenti da 

 M' M" N'N " , ed un cono cubico di vertice A^ (la cui retta doppia è l'unica retta 

 doppia del 1° sistema) ; ecc. La superficie è inviluppata da 5 serie di quadriche 

 passanti rispettivamente p>^f' l« quaterne di punti doppi oste nei 5 piani singolari: 

 la serie passante pei punti doppi del piano dà coi due sistemi di generatrici il 

 1" ed il 3" sistema di rette, ecc.; la serie passante per A^A^A^A^ dà un sistema re- 

 siduo (6, 6) di tangenti doppie della superficie. 



Varietà cubiche con nove punti doppi. 



21. Suppongasi che per le tre reti proiettive generanti il 1° sistema di rette 

 di r vi sia tin terzo piano d'intersezione di spazi corrispondenti, e sia esso 246. Dal 

 sistema coniugato (2" sistema) si staccherà analogamente il piano 135. Sia 9 il punto 

 d'intersezione di questi due piani : esso sarà un nuovo punto doppio di Y . Si vede 

 in modo analogo a quello in cui al n." 19 si giunse al piano 1478, che F conterrà, 

 oltre a tutti i piani già nominati, i due 257 9 e 3689, e quindi in tutto nove piani. 

 — Si vede facilmente che in questo modo si ottiene qualunque varietà cubica con 

 nove punti doppi, sicché una tal varietà contiene sempre nove piani. 



Le rette di T formano in questo caso sei diversi sistemi (1 , 3) i quali incon- 

 trano rispettivamente i piani seguenti (*) : 



1° 4567, 2348, 1359 



2° 1237, 1568, 2469 



3° 1478, 2579, 3689 



4'= 2348, 1568, 2579 



5" 1359, 2469, 1478 



6° 4567, 1237, 3689. 

 Di questi sei sistemi i primi tre sono tra loro a due a due coniugati, e così pure gli 

 altri tre. Due sistemi appartenenti rispettivamente alle due terne hanno comune un 

 piano d'appoggio ; mentre due sistemi coniugati, cioè della stessa terna, non hanno 

 piani d'appoggio comuni. — La tahella precedente si può dedurre dall'osservazione che 



(*) Il sistema residuo del n." 19 si scompone ora iu quelli che qui chiamo 3° e 5° ; l'attuale 6" 

 è il 3° del n.° 19. 



