DI CORRADO SEGRE 



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esistono sei spazi ciascuno dei quali contiene tre piani e (sulle loro rette d'interse- 

 zione) sei punti doppi di F; essi sono i seguenti: 



123579 , 145678 , 234689 ; 

 123478 , 245079 , 135689 . 

 Si vede che i nove piani non sono altro che i piani d'intersezione dei primi tre di 

 questi spazi cogli ultimi tre. Ne segue che: la varietà cubica con nove punti doppi 

 e, quindi contenente nove piani non è altro che una varietà del fascio determinato 

 da due terne di spazi (che si segano mutuamente in quei nove piani); e viceversa. 

 — Si vede facilmente che in un tal fascio di varietà cubiche con nove punti doppi 

 fissi ve n" è una sola con un decimo punto doppio {*) ; ed inoltre che per questo 

 punto devono passare i sei piani 345, 12(3, 307, 258, 149, 789. (Cfr. n°. 24). 

 Ciascuno di questi congiunge i tre punti doppi nei quali i tre piani d'intersezione 

 degli spazi di una terna sono incontrati risp. dai tre piani d'intersezione degli spazi 

 dell'altra terna, prendendo questi piani in un certo ordine {**). 



Le varietà cubiche con nove punti doppi sono quelle generabili con tre fasci 

 di spazi in corrispondenza trilinearc. Considerando in fatti un sistema di rette di 

 una varietà cubica con nove punti doppi, si riferiscano tra loro i tre fasci di spazi, 

 aventi per sostegni risp. quei tre piani della varietà che sono incontrati da tutte le 

 rette del sistema, chiamando corrispondenti tre spazi che proiettino una stessa retta 

 del sistema: allora è chiaro che a due spazi qualunque di due fasci corrisponde uno 

 spazio perfettamente determinato del fascio rimanente, sicché la corrispondenza sta- 

 bilita fra i tre fasci sarà trilineare. Viceversa ti'e fasci di spazi in corrispondenza 

 trilineare aventi per sostegni tre piani indipendenti generano una varietà cubica che 

 contiene quei tre piani ed inoltre ciascuna delle tre coppie di piani in cui si tagliano 

 due spazi di due fasci aventi per corrispondente ogni spazio dell'altro fascio. Tale 

 varietà ha in generale nove punti doppi; ma ne ha dieci nel caso particolare in cui 

 quei tre spazi dei tre fasci che si tagliano in un piano sono corrispondenti. 



22. Si possono introdurre pei nove punti doppi e pei nove piani di F notazioni 

 più espressive a due indici sia considerandoli come intersezioni delle due terne di 

 spazi sia mediante le due terne di sistemi di rette (***). Seguendo quest'ultimo con- 

 cetto rappresentiamo con a,^ il piano di F che è appoggio comune ai sistemi di rette 

 i e li (essendo '/=1,2,3, e /.: — 4,5,6) e con quel punto doppio di Fin cui si 

 tagliano quei quattro dei 6 spazi i quali non passano per a,^. Si verifica allora im- 

 mediatamente che un punto ed un piano si appartengono quando le loro notazioni 



(*) Se il fascio si rappresenta con l'equazione x^x^x^-^-'/ x,^x^x^-^ , dove ^ è il parametro va- 

 riabile ed è Sx = 0, quella particolare varietà corrisjìonderà a >=1, ed il suo decimo punto doppio 

 sarà il punto (1, 1, 1, — 1, — 1, —1". — Avvertiamo a questo proposito che di tutte le particolari 

 varietà cubiche che s'incontreranno in seguito si possono scrivere le equazioni senz'alcuna difficoltà. 



(*♦) La proposizione che i sei piani, che cosi si ottengono da due terne di piani condotte risp. 

 per due rette, passano per uno stesso punto, si può anche dimostrare per via affatto elementare. Vedi 

 « Alcune considerazioni elementari sull'incidenza di rette e piani nello spazio a quattro dimensioni » 

 ^Rendiconti del Circolo Mat. di Palermo, t. 11). 



{***' Questi due modi non coincidono, perchè non vi è corrispondenza fra le due terne di spazi 

 9 le due terne di sistemi di retto. 



