22 SULLE VARIETÀ CUBICHE DELLO SPAZIO A QUATTRO DIMENSIONI 



hanno comune un indice solo. Segue dal § precedente che pel punto A^^ passano un 

 cono quadrico comune ai sistemi di rette /, k e quattro fasci di raggi appartenenti 

 i-ispettivamente agli altri quattro sistemi e situati nei quattro piani di T passanti per 

 quel punto ; e precisamente il fascio di raggi del sistema i' o k' uscente da J,-^ sta 

 nel piano iz,,^ od a^,,, se ii'i" e l- Jc'k" indicano permutazioni qualunque rispettiva- 

 mente degl'indici 123 e 456. 



Proiettando da un punto di T si otterrebbero così proprietà dei sistemi di rette 

 (2,3) che non ci fermiamo ad enunciare, dovendone ottenere le duali pei sistemi 

 (3, 2) in modo più simmetrico nel § seguente. Proiettando invece da un punto esterno 

 a r abbiamo: 



La superficie del 6° ordine con sestica ciisiridale e nove plinti doppi ha novf 

 piani doppi, sì die per ogni punto passano quattro piani e su ogni piano stanno 

 quattro punti. Essa è focaie per sei sistemi di rette (3, 3) distribuiti in due terne 

 123 e 4 5 6. Conservando ai punti e piani le notazioni precedenti k^-^, a-^, hanno 

 ancor luogo le relazioni dianzi esposte, sicché per es. il 1" sistema di rette ha tre 

 coni quadrici uscenti dai punti A,^ , Aj., A^^ e sei fasci di raggi di sostegni 

 ccjk, Ajk <^iv (k= 4, 5, 6). La superficie è inviluppata da nove serie di quadriche ; 

 i due sistemi di generatrici di una stessa serie formano due dei detti sistemi appar- 

 tenenti rispettivamente alle due terne e, detti i, k gl'indici di questi sistemi, la serie 

 di quadriche passa pei punti doppi del piano y,\. e tocca i piani doppi passanti 

 pel punto k^^. 



23, La considerazione delle due terne di spazi del n." 21 dà altre proprietà 

 della configurazione degli elementi singolari di quella superficie del 6° ordine. I 3 

 piani d'intersezione degli spazi di una terna incontrano i tre piani d'intersezione degli 

 spazi dell'altra terna secondo i 9 punti doppi di V. Considerando inoltre le due rette 

 che sono sostegni sia delle due terne di spazi sia delle due terne di piani, si giunge 

 alla seguente proprietà degli elementi singolari di F e quindi anche degli elementi 

 singolari della nostra superficie del 6° ordine : I tre piani Aj^ Ag. Ag^ , Aj_ A^g A^^ , A^g A,^ A.,._ 

 passano per una stessa retta, e così pure i piani k^,A^.^k^^, k^^^k^^k^^^, k^^K^^^k,,^ 

 passano per una, seconda retta; i tre punti a,.^ofg|, , «j^a.^^ag^, aj^-a^^Ss stanno sa 

 quest'ultima retta, mentre i tre punti a^,.v^.a^.^, a^^y.^^c/..:^^, a^^v.^^a.^^ stanno sulla 

 prima retta. 



La considerazione delle oo' varietà cubiche aventi comuni i 9 punti doppi costi- 

 tuenti il fascio determinato dalle due terne di spazi ed in particolare di quella che passa 

 pel centro di proiezione (il contorno apparente della quale si riduce al 4° ordine ed 

 acquista un nuovo piano doppio e sei nuovi punti doppi) e di quella che ha un decimo 

 punto doppio da cui escono sei nuovi piani della varietà stessa (cfr. n.' 21 e 24) ci dà: 



I 9 punti A,t ed i 9 piani j^^,, singolari per la superficie di 6" ordine e 6" 

 classe considerata sono pur tali per una serie oo^ di siffatte superficie. Però una 

 di queste si riduce al 4° ordine ( ed i relativi sistemi di tangenti doppie al 2°) 

 acquistando sei nuovi punti doppi a-^^c/.^.^v.^^ , «ik^2k«3k (i=li2,3; k = 4, 5,6) 

 ed un piano doppio su cui questi punti stanno, sicché si ha per la configurazione 

 dei piani a,,, la nuova proprietà che quei loro sei punti d'intersezione sono su 



