DI CORRADO SEGRE 



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una conica. Un'altra superficie di quella serie si riduce alla Anelasse; i sei piani 

 Ai^AjjAij, A,|,Aji^A3|. passano per uno stesso punto {ed inviluppano un cono 

 quadrico) e sono insieme con questo altri elementi singolari di quella superficie. 



11 1" sistema (3, 3) di tangenti doppie di una superficie qualunque di quella 

 serie è proiezione di un sistema di rette appoggiate ai tre piani «j^, a^. , a,^, di . 

 Ora le oo^ rette di appoggiate a questi tre piani, indipendenti fra loro, sono pun- 

 teggiate proiettivamente dal fascio di spazi che passa pei tre punti A^^, Ay^, A^^. in 

 cui quei piani si tagliano a due a due, ed in queste proiettività si corrispondono i 

 punti d'incontro coi piani stessi (cioè con gli spazi del fascio passanti per questi piani). 

 Dunque quelle rette si proiettano su R secondo le rette di un complesso tetrae- 

 <lrale avente per piani singolari «j^, «j., «j^, e A^^A^^A^^^, ed abbiamo: 



/ corrispondenti sistemi (3, 3) di tangenti doppie di quella serie <x} di su- 

 perficie del 6° ordine e 6' classe costituiscono un complesso tetraedrale ; così il 

 luogo del ì° sistema è un complesso tetraedrale relativo al tetraedro di facce a^^. 



Se il sistema delle rette appoggiate ai tre piani a.^^ , a^, , «j^ si proietta da un 

 punto di quel piano che congiunge i tre punti A^^, , A^^^, in cui quelli s'in- 

 contrano a due a due (cioè del piano 345 nelle notazioni del n.°21), è facile ve- 

 dere che esso darà un complesso lineare di rette dello spazio ordinario ; quindi si 

 ottiene in questo una particolare serie di superfìcie del 6" ordine e (3^ classe , per 

 ciascuna delle quali il 1° dei sei sistemi (3, 3) di tangenti doppie sta in complesso 

 lineare fìsso. Se poi la proiezione si fa dal punto considerato al n.° 21, pel quale 

 passano .i sei piani A.^Aj^Ajg, Ai^AokAg^, essa produrrà una serie notevolissima 

 di superficie per le quali tutti sei i sistemi (3,3) di tangenti doppie stanno risp. in 

 sei complessi lineari fissi {*). 



Varietà cubiche con dieci punti doppi. 



24. Siano infine quattro i piani d' intersezione di spazi corrispondenti delle tre 

 reti proiettive generanti il 1° sistema di rette di F, cioè i quattro piani 1 2 3, 1 5 6, 

 2 46 e 3 4 5. Conservando per tutto il resto le notazioni precedenti, diciamo il 

 punto d'intersezione dei piani 3 45 e 12 6. Avremo così la più generale varietà cubica 

 con dieci punti doppi (1,2, ... 9,0). Questa varietà F conterrà i quindici piani 

 seguenti : 



1287 , 4567 ; 1568 , 2348 ; 

 2469 , 1359 ; 3450 , 1260 ; 

 1478, 2579, 3689, 3670, 2580, 1490; 7890. 



(♦) È mio dovere dichiarare, che, prima che nell'ultimare questo lavoro io fossi condotto a questo 

 risultato, il sig. Castelnuovo mi aveva già annunciato l'esistenza di un punto tale che proiettando 

 da esso, i sei sistemi di rette della varietà cubica con nove punti doppi si ottengono sistemi situati 

 su altrettanti complessi lineari. Lo stesso fatto accadde per duo o tre altre osservazioni di minor im- 

 portanza. 



