24 SULLE VARIETÀ CUBICHE BELLO SPAZIO A QUATTRO DIMENSIONI 



Le rette Ai T formano sei sistemi (1,2) tutti coniugati fra loro e di cui cia- 

 scuno incontra cinque (soli) dei quindici piani nel modo seguente : 



1" 



4567 , 



2348 , 



1359 , 



1260 , 



7890 



2» 



1237 , 



1568 , 



2469 , 



3450 , 



7890 



3" 



1478 , 



2579 , 



3689 , 



3450 , 



1260 



4° 



1568 , 



2348 , 



2579 , 



3670 , 



1490 



5° 



2469 , 



1359 , 



1478 , 



3670 , 



2580 



6° 



1237 , 



4567 , 



3689 , 



2580 , 



1490 



La conjSgurazione dei dieci punti doppi e dei quindici piani di F è, come si vede, 

 molto notevole : ciascuno dei quindici piani di T contiene quattro di quei punti , e 

 per ogni punto passano sei di quei piani. I piani si raggruppano nelle sei quintuple 

 scritte, ciascuna delle quali si compone di piani incontrantisi due a due in un sol 

 punto ; ogni piano appartiene a due quintuple , essendo incontrato secondo rette da 

 altri sei, e in un punto solo dai rimanenti otto, i quali con esso formano quelle due 

 quintuple. Viceversa due quintuple qualunque hanno sempre un piano comune. 



25. Questa configurazione e la relativa varietà cubica T non hanno invarianti 

 assoluti. In fatti F è determinata da quattro piani d'una stessa quintupla, essendo 

 il luogo delle rette che incontrano quei quattro piani. Ora quattro piani che s'in- 

 contrino a due a due in sei punti sono sempre trasformabili proiettivamente (in un 

 modo perfettamente determinato) in un'altra simile quaterna di piani, e ciò mediante 

 Tomografia che fa corrispondere i gruppi dei sei punti d'intersezione dei piani stessi. 



Da questa osservazione seguono immediatamente le seguenti notevoli propo- 

 sizioni : 



Le rette die incontrano quattro piani indipendenti dati ad arbitrio formano 

 una varietà cubica che contiene oltre a questi altri undici piani, uno dei quali è 

 pure incontrato da tutte quelle rette. Quei quindici inani passano a sei a sci per 

 dieci punti i quali sono doppi per quelle varietà cubiche. 



Se i quattro piani dati si chiamano a, -y, (5, e s'indica con ry' il piano 

 dei tre punti d'intersezione di jS, y, o, con |3' il piano dei tre punti d'intersezione 

 di y, 5, K, ecc. i quattro punti aa, pjS', yy', qÒ\ staranno in uno stesso piano s, 

 e i cinque piani v.^yùs formeranno una quintupla tale che ogni retta la quale 

 ne incontri quattro incontrerà anche il rimanente {*). 



La varietà T si trasforma in se stessa mediante quindici involuzioni ciascuna 

 delle quali ha uno determinato dei quindici piani per piano direttore, scambia tra 

 loro le due quintuple a cui questo piano appartiene e i relativi sistemi di rette, 

 e trasforma in se stessi ciascuna delle rimanenti quintuple e il relativo sistema 

 di rette. 



Così la involuzione (lineare) (14) (25) (36) (la quale ha il piano 78 9 dei 

 punti d'intersezione dei piani corrispondenti 123, 456; 156, 234; 246, 135; 345, 



(*) Questa proposizione, che appartiene agli elementi Jella geometria proiettiva di , si può 

 anche dimostrare mediante considerazioni affatto elementari. V. la Nota citata dei Rendiconti di 

 Palermo. 



