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SULLE VARIETÀ CUBICHE DELLO SPAZIO A QUATTRO DIMENSIONI 



streremo che : Le sole varietà cubiche prive di linee doppie che contengano sistemi 

 di rette del V ordine sono appunto quelle generabili mediante tre reti proiettive; 

 anzi, se si fa astrazione da quel sistema (1, 5) di rette di una varietà cubica 

 contenente due soli piani il quale s'appoggia ad entrambi questi piani (v. n." 17), 

 ogni sistema di rette del V ordine di una varietà cubica priva di linee doppie 

 è esso stesso generabile mediante tre refi proiettive. 



Invero se una varietà cubica F, che non abbia infiniti punti doppi, è tale che 

 dal sistema delle sue rette se ne stacchi uno del 1° ordine e di classe n. uno spazio 

 ([ualunqiie conterrà n rette di questo sistema , le quali saranno in generale tutte 

 sghembe tra loro, perchè altrimenti pel punto comune a due di esse dovrebbero pas- 

 sare infinite rette del sistema, il ch'^ può solo accadere per un numero finito di punti 

 di r. Dunque quelle n rette formano una n-pla di rette (sghembe) per la superficie 

 cubica sezione di V con quello spazio; ne segue che < 6. Inoltre, per altre note 

 proprietà delle superficie cubiche, se si esclude il caso in cui n — o e la quintupla 

 si appoggia completamente z.^due diverse rette, si può sempre, per due rette p, p 

 della j?-pla trovare due altre rette r, r' della superficie cubica tali che r tagli tutte 

 le rette della w-pla salvo p e che r tagli tutte le rette della «-pia eccetto p' . 

 Allora facendo rotare lo spazio considerato attorno ad r , oppure attorno ad r , si 

 vsde per ragione di continuità che in esso vi sarà sempre una sola retta del sistema 

 <ìi 1° ordine considei*ato la quale non incontri r, oppure rispettivamente quindi se 

 nelle due reti degli spazi passanti per r od r' si fanno corrispondere due spazi quando 

 vanno ad una stessa retta di quel sistema (la quale non incontri ne r nè r) la cor- 

 rispondenza sarà univoca. Si potrà anzi dimostrare che la corrispondenza è proiettiva 

 con un ragionamento identico a quello usato al n.° 13 per provare la stessa proprietà 

 della corrisppndenza univoca fra le due reti ivi considerate, dopo che quella corrispon- 

 denza era stata riconosciuta univoca. Si può dunque. conchiudere che il nostro sistema 

 di rette è generabile mediante tre reti proiettive.' 



Nel caso escluso in cui il sistema considerato abbia in uno spazio qualunque 

 una quintupla di rette appoggiate a due altre rette della superficie cubica, a queste 

 si appoggeranno rispettivamente due altre quintuple (dell' altra specie , cioè dotate 

 ciascuna di una sola cinquisecante) ; ed un ragionamento della stessa natura di quello 

 svolto dianzi prova che queste apparterranno rispettivamente a due altri sistemi (1, 5) 

 generabili con reti proiettive e coniugati fra loro. Quindi il sistema di 1" ordine 

 escluso è il 3" sistema (1, 5) del n". 17. 



Le considerazioni fatte in questo numero dànno anche la proposizione seguente 

 (che servirà più tardi), sempre valida: Se su una varietà cubica stanno due sistemi 

 di rette (1, n) tali che i due gruppi di loro ritte giacenti in qualunque spazio 

 si corrispondano per guisa che ogni retta dell'uno tagli tutte quelle delValtro 

 tranne la retta corrispondente, i due sistemi saranno coniugati in generazioni con 

 reti proiettive di spazi. 



