DI CORRADO SEGRE 



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Varietà cubiche con punti doppi di specie superiore. 



28. Un punto doppio di una varietà qualunque F,"L, ad n — 1 dimensioni 

 dello spazio ad n dimensioni S„ può presentare vari casi, a seconda che il cono qua- 



drico il!/'„_i tangente in esso alla varietà è di 1*, 2^, S'', specie, cioè ha un 



S^, S^, >S',, ... (di punti doppi) per sostegno; a seconda di questi vari casi diremo 

 il punto doppio di 1", 2*, 3% .... sprcìp. Il punto doppio di 1" specie costituisce il 

 caso più generale; i punti doppi di {n — l)esima o di ?a -esima specie hanno per 

 coni tangenti rispettivamente una coppia di spazi S„_y distinti o coincidenti, e si pos- 

 sono anche chiamare punti doppi hispaziaìe od unispaziale. 



La M'JJZJ prima polare di un punto qualunque P rispetto ad una varietà 

 V"_, avente un punto doppio D di specie r è tangente in D al sostegno Sr_, del 

 cono tangente in D alla varietà (*). Infatti si conduca un piano qualunque l?, per 

 P e per una retta di queir5^_, , la quale passi per B : la sezione fatta da questo 

 piano in F,"!, sarà una curva avente in I) una cuspide con quella retta per tan- 

 gente cuspidale. La prima polare di P rispetto a questa curva, cioè l'intersezione del 

 piano con la 3I"'^z\ polai'e di P rispetto a V. sarà dunque tangente in 7) a quella 

 retta. Da ciò segue immediatamente il teorema enunciato. 



E da questo possiamo dedurre che: 



Un punto doppio D di specie r > 1 di una varietà V"_i di ne abbassa in 

 generale la classe di 3. 2''~* «mYd. — La classe di V, cioè il numero dei suoi S„_^ 

 tangenti appartenenti ad un fascio qualunque, sarà diminuita da D di tante unità 

 quanti sono i punti d'intersezione assorbiti da D della varietà V con le prime polari 

 rispetto a F di n — 1 punti (indipendenti) di -^„. Levando una di queste ultime 

 varietà, la F e le rimanenti si taglieranno secondo una curva passante per D con 

 un certo numero di rami, tutti tangenti al sostegno ^S^,, del cono tangente in I) 

 a F, e perciò tangenti anche alla varietà che si è tolta; dunque il numero cercato 

 è il doppio (li quel numei'o di rami, ossia, segando con un aS'„_i jiassante per Z) la F 

 e le n — 2 prime polari rimaste, è il doppio del numero delle intersezioni assorbite 

 da D delle n — 1 varietà così ottenute nell , vale a dire di quel numero che 

 si ottiene dal cercato diminuendo simultaneamente n ed r di 1. Per questa via, ridu- 

 cendosi infine al caso di > — 2, si dimostra la proposizione enunciata. 



29. Se una varietà V]"_j di S„ ha una Mr_, di ordine qualunque doppia, 

 ogni punto D di questa è in generale un punto doppio di specie r, in cui il cono 

 tangente ha per sostegno f S,_i tangente nel punto stesso alla 'M^_^ doppia. 



Si consideri in fattj una retta / che congiunga D ad un punto della intì- 

 nitamente vicino ad esso, vale a dire una retta tangente in Z) a questa varietà. Una 

 generatrice del cono tangente in D alla F, vale a dire una retta che incontri tre 



;*) Si veJe anche facilmente die : lo spazio S„_( tangente in D o quella prima polare è lo spasio 

 polare di P rispetto al cono M,",_j tangente alla varietà V in D. 



