28 SULLE TAKIETÀ CUBICHE DELLO SPAZIO A QUATTRO DIMENSIONI 



volte in 7) la V, sai-à congiunta ad l da un piano il quale taglierà V in una curva 

 avente in D un punto di contatto di due rami (cioè la riunione del punto doppio D 

 col punto doppio infinitamente vicino considerato) con la tangente singolare /, ed 

 avente oltre a questa un'altra retta tangente in D ; dunque quella curva avrà in 7) 

 un punto triplo, e quindi tutte le rette di quel piano passanti per D apparterranno 

 al cono tangente in 7) a V. Applicando questo risultato a ciascuna delle tangenti / 

 in D ad M, risulta che il cono tangente in Z> a V si compone di infiniti pas- 

 santi per r *Sr-i ^ tangente in 7) ad 31: il che prova appunto l'asserto. 



Lo stesso ragionamento si applicherebbe a provare la seguente proposizione di 

 cui la precedente si potrebbe considerare come un corollario : 



Se in una varietà ad n— 1 dimensioni di S„ si fanno avvicinare indefinita- 

 mente in direzioni tutte indipendenti tra loro r— 1 punti doppi di 1* specie ad 

 un x-esimo fisso, si ottiene come limite un punto doppio di specie r. 



30. Una varietà cubica di può avere punti doppi di 1^, 1^, 3" e 4^ specie. 

 Xel 3° caso i due spazi tangenti nel punto doppio (bispaziale) segheranno la varietà 

 in due coni cubici aventi comuni le tre generatrici costituenti l'intersezione del piano 

 comune a quei due spazi con la varietà. Similmente lo spazio tangente in un punto 

 unispaziale segherà la varietà in un cono cubico. Mentre in questi ultimi due casi il 

 cono sestico di V uscente dal punto doppio si scinde, nel caso di un punto doppio 

 di 2'^ specie esso non presenta altra particolarità che quella di avere per sezione con 

 uno spazio una sestica situata su un cono quadrico 



Il caso in cui F ha in 7) un punto unispaziale è caratterizzato da ciò che in 

 ogni piano passante per D la cubica d'intersezione con F ha in 7) una cuspide, la 

 cui tangente cuspidale appartiene allo spazio tangente in 7) a F. In particolare, se 

 il piano è condotto per una generatrice / del cono cubico di F uscente da 7), la 

 residua intersezione del piano con F sarà una conica tangente in 7) ad / ; e se il 

 piano deve essere tangente a F in un 'determinato punto di / diverso da 7), quella 

 conica deve spezzarsi in / ed un'altra retta, e quindi quel piano sarà tangente a F 

 lungo tutta la /. Ne segue immediatamente che : 



Se F Ila un punto unispaziale, vi sarà per ogni retta di F uscente da quel 

 punto uno spazio tangente a F lungo tutta quella retta; questo spazio segherà F 

 secondo una rigata ctcbica avente cjurlla retta per retta doppia. 



Segue da questa proposizione che proiettando dal punto unispaziale il sistema 

 delle rette di F si ottiene nello spazio R il sistema delle rette tangenti ad una super- 

 ficie cubica nei punti di una sua sezione piana. Da un punto bispaziale invece il sistema 

 delle rette di F si proietta secondo il sistema delle rette di 72 appoggiate a due cubiche 

 piane le quali s'incontrano in tre punti ed è dalla coincidenza di queste due cubiche 

 piane che si può considerare come proveniente il caso precedente. 



Kiguardo ai casi in cui F ha più. punti doppi di specie superiore osserviamo soltanto 

 che se F oltre ad un punto unispaziale ha un altro punto doppio essa avrà la con- 

 giungente di questi due punti per retta doppia (come risulta segando F con un piano pas- 

 sante per la retta stessa). In particolare se F ha due punti unispaziali, ogni altro punto 

 della loro congiungente sarà bispaziale ; questo caso si presenterà più tardi (n.° 4G). 



