DI CORRADO SEGRE 



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31. Nel contorno apparente di F rispetto ad un punto qualunque P, il punto sin- 

 golare D' che si ottiene come proiezione di un punto doppio B di T ha le tangenti tri- 

 punte date dai piani passanti per P e tangenti al cono tangente in D a F (poiché tre 

 delle tangenti condotte da un punto ad una curva piana dotata di cuspide coincidono 

 nella retta che va da quel punto alla cuspide). Ne segue (*) che se D è punto doppio 

 di 2" specie per T, I)' sarà un punto doppio hiplanare pel contorno apparente, e se J) 

 è bispaziale per V, D' sarà uìtipìanare per quella superficie. Infine se D è unispaziale 

 per F, jy sarà un punto fripìo per il contorno apparente; si vede poi subito che allora 

 il cono tangente in esso sarà la proiezione fatta da P del cono cubico di F uscente da D. 



Si possono quindi ottenere, come contorni apparenti di varietà cubiche dotate di 

 punti doppi (li specie superiore, superficie particolari di 4" e 6" ordine con punti doppi 

 biplanari od uniplanari o con un punto triplo. 



Varietà cubiche con infiniti punti doppi. 



33. Dal fatto che la retta congiungente due punti doppi di una varietà cubica F 

 irriduttibile sta su questa segue che F non può avere una linea doppia . riduttibile 

 no , la quale appartenga ad uno spazio e sia tale che per ogni punto di quello spazio 

 passi qualcuna delle sue corde. Osserviamo inoltre che la linea doppia di F non può 

 essere di ordine superiore al 4", poiché una superficie cubica sezione spaziale di F 

 non può avere punti doppi in numero (finito) > 4. E una curva doppia piana di F 

 non può essere di ordine superiore al 2", poiché una superficie cubica non può avere 

 più di due punti doppi (staccati) su di una retta. Da tutto ciò segue che le sole linee 

 che possono essere doppie per una varietà cubica irriduttibile sono le seguenti : 1.") una 

 retta, 2°) due rette incidenti, 3.") tre rette passanti per uno stesso punto ma non 

 poste nello stesso piano, A°) una conica, 5.°) due coniche non appartenenti allo stesso 

 spazio ma aventi un punto comune, 6.") una quartica razionale normale di aS"^. 



Se poi F ha una superficie doppia , si vede subito che questa non potrà essere 

 che un piano. — lisamineremo ora successivamente questi vari casi. 



33. Yarietà cubiche con una retta doppia. — Detta F una tal varietà e <1 la 

 sua retta doppia , T avrà in ogni punto di d per cono tangente un cono quadrico 

 di 2" specie di sostegno d (v. n." 28). Tutti questi coni formano un fascio la cui base 

 si compone di quattro piani passanti per d : ciascuno di questi è un piano tangente 

 a r lungo d. Vi saranno tre punti di d per ciascuno dei quali il cono quadrico tan- 

 gente si spezzerà in due spazi contenenti ciascuno una coppia di quei piani, cioè d 

 avrà tre punti bispaziali. 



Il sistema delle rette di F si scinde in questo caso nel sistema di quelle che 

 incontrano d, il quale è (1, 6), e in un sistema residuo (4, 15) (poiché lo spazio 

 tangente a F in un punto qualunque P sega T in una superficie cubica con un 



(*) lu generale in Sn il contorno apparento di una varietà qualunque V',,_i avrà ugU i proiezione 

 di un punto doppio di specie r di quella, un punto doppio della stessa specie se >• < »i, un punto tri- 

 plo se r=n. 



