80 SULLE VARIETÀ CUBICHE DELLO SPAZIO A QUATTRO DIMENSIONI 



punto doppio su d ed un altro in P, sicché per questo, oltre alla congiungente i due 

 punti doppi , non passano più che quattro rette della superficie cubica , cioè di F ). 



Il contorno apparente di T da un suo punto P sarà una superficie del 4° ordine 

 dotata di una retta doppia e di un piano tangente doppio (piano contenente, oltre al 

 punto d'intersezione con la retta doppia, altri quattro punti doppi); questa superficie 

 è focale per un sistema di rette (2, 6) avente la retta doppia per retta focale, ed 

 inoltre per un sistema di rette (8, 15). 



11 contorno apparente di f preso da un punto esterno sarà una superficie del G" 

 ordine con sestica cuspidale e retta doppia; questa superficie è focale per un sistema di 

 rette (3, G) avente la retta doppia per retta focale, ed inoltre per un sistema (12, 15). 



Entrambi questi contorni apparenti ed hanno sulla retta doppia tre punti 

 cuspidali nelle proiezioni dei tre punti bispaziali di d (n.° 31). Un altro punto sin- 

 golare di quella retta è proiezione di quel punto di d il cui cono tangente passa 

 per P , cioè del punto d" intersezione di d con lo spazio polare di P rispetto a V. 

 Per F^ esso è il punto d'intersezione di d col piano doppio [j. , ed è un quarto 

 punto cuspidiale della retta doppia. Per F" esso è un punto triplo {uniplanare) e 

 cioè l'unico punto comune alla retta doppia ed alla sestica cuspidale : esso è per 

 questa un punto doppio di cui quella retta è una tangente (*). — Se però il centro 

 di proiezione P si prende su uno dei piani tangenti a Y lungo r/, sicché stia simul- 

 taneamente sui coni tangenti a F in tutti i punti di ({uesta retta doppia, il contorno 

 apparente che si otterrà sarà una superficie del G" ordine con sestica cuspidale de- 

 generata in una quartica sghemba di 2' specie ed una sua trisecante contata 

 dop)piamente, retta che è tripla per la superficie. 



34. La varietà F con retta doppia d è nel caso più generale di classe 12, ma 

 può diminuire di classe acquistando 1, 2, 3, 4 punti doppi fuori di d. Un tal punto 

 doppio è congiunto a d mediante un piano, il quale dovrà evidentemente appartenere 

 a F. Viceversa se I' contiene un piano passante per d, su (questo piano vi sarà un 

 punto doppio posto fuori di d, nel quale si taglieranno le generatrici diverse da d 

 d'intersezione di quel piano con le quadriche costituenti l'intersezione residua di F e 

 degli spazi passanti pel piano stesso. Ogni piano di F passante per d è uno dei piani 

 comuni ai coni quadrici tangenti a F nei punti di d \ \\ che s'accorda col fatto che 

 non vi possono essere più di quattro piani di F passanti per d. 



Nel caso in cui F ha un punto doppio (fuori di d) cioè un piano n passante 

 per d, le rette di F formano (trascurando quelle di quel piano) tre sistemi, cioè uno 

 (1, 5) di rette appoggiate a d, un altro (1, 5) composto di rette appoggiate a n ma 

 non a d, ed infine un sistema residuo (3,10). I due primi sistemi costituiscono rispettiva- 

 mente i due sistemi di generatrici delle quadriche di F poste negli spazi passanti per n. 



(*) Tutto ciò si vede assai facilmente considerando al solito delle sezioni piane di V passanti per P 

 e pei- punto singolare di cui ai tratta, ed inoltre la sestica di r che dà per proiezione la sestica cuspi- 

 dale di F^. Così si ottengono pure cose analoghe per varietà cubiche aventi una conica doppia ecc. 

 VA in generale osserviamo, che per questa via si troverebbero assai facilmente tutte le principali pro- 

 prietà di certi punti notevoli di linee doppie o cuspidali delle superficie F* ed /'"" studiate in questo 

 lavoro. 



