o2 SULLE VARIETÀ CUBICHE HELLO SPAZIO A QUATTRO DIMENSIONI 



a TTj incontra i piani , (7.,^ , >7.,^ e (j,^^ e non gli altri piani di F ; e analogamente 

 per gli altri tre sistemi. 



Nel contorno apparente della varietà cubica con retta doppia, considerato al 

 n." 33 si possono così far comparire 1, 2, 3, 4 nuovi punti doppi e conseguente- 

 mente più piani doppi; e risultano immediatamente dalle particolarità viste delle 

 varietà cubiche corrispondenti quelle che cosi vengono ad acquistare quelle superficie 

 del 4° e G" ordine, ed in particolare il modo in cui si scinde il sistema delle tan- 

 genti doppie. Senza fermarci ad enunciare esplicitamente i risultati che così si otten- 

 gono, osserviamo soltanto che per la varietà considerata in questo n." cioè avente 

 quattro punti doppi staccati, il contorno apparente preso da un suo punto è la più 

 generale CompìexflàcJie di Plììcker relativa al complesso quadratico. 



38. Varietà cubiche con conica doppia. — Se una varietà cubica T ha una 

 conica doppia h', situata in un piano n, gli spazi passanti per questo determinano 

 su r una serie di quadriche passanti per Jc^ ; lo spazio T tangente a F in un punto 

 di 71 non situato su Jr taglierà evidentemente F in una superficie cubica composta 

 del piano n contato due volte e di un altro piano (7, e sarà quindi tangente a P in 

 tutti i punti di 7T. I punti di k' avranno coni quadrici tangenti di 2" specie con le 

 tangenti di Ir per sostegni (e le rette di F uscenti da un tal punto formeranno, 

 oltre al piano tt contato due volte, un cono quartico) ; però i due punti d'interse- 

 zione di l ' con la retta ~ <7 saranno punti bispaziali, avendo entrambi per uno spazio 

 tangente lo spazio T già considerato. E quei due punti saranno i soli punti bispaziali 

 di il'-, giacche se un punto di questa conica è bispaziale per F, uno dei due spazi 

 tangenti in esso a questa varietà dovrà passare per t: e tagliare F oltre che in questo 

 piano in un cono quadrico avente il vertice in quel punto e passante per k-, cono 

 che perciò si spezza in - ed un altro piano passante pel punto stesso , sicché quello 

 spazio sarà T e quel punto uno dei due punti bispaziali considerati. — Nella serie 

 nominata di quadriche di F poste negli spazi passanti per tt vi sono quattro coni . 

 in generale non degeneri ; poiché il luogo dei poli di n rispetto a quelle quadriclìe 

 si riduce ora ad una conica tangente a F in un punto del piano ti, e questa conica 

 (che sta sui coni tangenti a F in tutti i punti di Jù- , ed in particolare nel piano £ 

 comune ai due spazi diversi da T tangenti a l" nei due punti bispaziali di le-) taglia 

 ancora F in 4 punti , vertici di quei coni. 



Gli spazi passanti per e determinano su F un'altra serie di quadriche incon- 

 tranti 17 secondo un fascio di coniche che si toccano nei due punti bispaziali di /r, 

 avendo ivi due tangenti comuni che sono congiunte rispettivamente alle rette tangenti 

 nei punti stessi a ir dai due piani sostegni delle coppie di spazi tangenti a T in 

 quei punti. 



11 luogo dei poli di 7 rispetto a questa serie di quadriche è ancora una conica , 

 la quale sta evidentemente anch'essa nel piano ^ , e tocca ! nel punto in cui questo 

 piano incontra 7, mentre taglia F nel punto d'incontro di | con - e quindi ancora 

 in .altri 3 punti , vertici dei tre coni , in generale non degeneri , che fan parte della 

 serie di quadriche. 



Dal fatto che i due punti bispaziali della retta 7X7 hanno comune lo spazio 



