34 SULLE VARIETÀ CUBICHE DELLO SPAZIO A QUATTRO DIMENSIONI 



proiezione sta su T, si ottiene una superficie del i" ordine a conica cuspidale. — 

 Dalle proposizioni del n." 38 seguirebbero subito varie proposizioni su tutte queste 

 superficie (relative alle quadricbe che le inviluppano, a certe loro trasformazioni col- 

 lineari involutorie in se stesse, ecc.) ; ma non ci fermiamo ad enunciarle. 



41. Varietà cubiche con due rette doppie incidenti. — Sono casi particolari 

 delle varietà cubiche con conica doppia: la conica è ora degenerata in una coppia 

 di rette. Una tal varietà F è ancora in generale di 8" classe. Dette Jc^ le due 

 rette doppie e tt il loro piano, lo spazio tangente a F lungo questo la taglia ancora 

 in un piano ly ; i punti d'intersezione di questo con e /<•., sono due punti bispa- 

 ziali aventi uno spazio tangente comune nello spazio - 7, mentre il punto ylg, pure 

 bispaziale, ha per spazi tangenti altri due spazi passanti per tt . Questi determinano 

 su F due coni quadrici passanti entrambi per le due rette /."j, . 



Il sistema delle rette di F si scinde in due (1, 4) di rette appoggiate rispet- 

 tivamente a Jc^ e ed un sistema (2, 6) di rette appoggiate a 7. 



Se F ha un punto doppio D (fuori dello spazio n tr), essa conterrà i due piani 

 7)ytp Dk.^ e le rette di F formeranno due sistemi (1, 8) di rette appoggiate rispet- 

 tivamente a A-^ e /r, ed altri due sistemi (1, 3) appoggiati entrambi a t, ma di cui 

 l'uno s'appoggia inoltre al piano DJc^, l'altro al piano Dl;^. Sono coniugati fra loro 

 in generazioni con reti proiettive il 1° ed il 4" sistema, il 2° ed il 3", il 3" ed il 4". 



Se poi F ha i due punti doppi Z), D' essa conterrà i piani Dk^, Dk^, D'k^, 

 D'k.^ e la retta DD' starà col piano <7 in uno spazio il quale taglierà ancora F in 

 una coppia di piani Tj , passanti rispettivamente pei due punti (jk^, ck^. Le rette 

 di r formano allora quattro sistemi (1,2) tutti coniugati fra loro a due a due ed appog- 

 giati uno a A-j e Tj, un 2° a k^ e t^, un 3" a Dk^, D'k^ e 7, e il 4" a -DA,, B'k^ e a. 



42. Varietà cubiclie con tre rette doppie passanti per uno stesso punto. — 

 Dette Ap A-^, k.^ le tre rette doppie di una tal varietà F, i piani ;rp -g, -3 che le 

 congiungono a due a due staranno pure su F e lungo essi questa varietà sarà toc- 

 cata da tre spazi che la segheranno rispettivamente in tre nuovi piani (7p <7.,, Il 

 punto di F comune a A^ , Ag , A^ sarà unispaziale ed avrà lo spazio di quelle tre rette 

 per spazio tangente; inoltre su Aj vi sarà un punto bispaziale per cui passeranno 7.^ 

 e 73, ed analogamente vi saranno i punti bispaziali A, 73 7^ e A3 7^ 7.,. Le rette di 

 F formano tre sistemi (1, 2) a due a due coniugati ed appoggiati rispettivamente a 

 Aj e 7j , Ag e a.^ , A3 e 73. 



Il contorno apparente di questa varietà rispetto ad un suo punto è la super- 

 ficie di Steiner di 4" ordine e 3* classe con tre rette doppie ed un plinto triplo. 

 Kispetto ad un punto esterno il contorno apparente è invece una superficie di 6° or- 

 dine e 3* classe con sestica cuspidale e tre rette doppie concorrenti in un punto 

 triplo ed appoggiate a quella sestica in altri tre punti tripli della superficie ; 

 avendo questa tre piani tangenti lungo coniche (proiezioni dei piani 7p 7g, 73), essa 

 sarà la duale della superfìcie cubica con tre punti conici (*). 



;') Cfr. Cayley : A Memoir on Cubie Surfaces {Phil. Trans., voi. 159, p. 231), n.' 122 e segg. 



