DI CORRADO SEGRE 



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43. Varietà cubiche con quartica doppia. - La varietà cuLica F avente per 

 curva doppia una quartica razionale normale C* non è altro che il luogo delle cordr 

 di C^. Considerando la superficie cubica con 4 punti doppi sezione di F con uno 

 spazio qualunque si scorge che oltre al sistema (1, 6), di quelle corde vi è su F un 

 altro sistema di rette (2, 3) che diremo assi. Lo spazio tangente a F in un suo 

 punto sega F in una rigata cubica avente per direttrice doppia la corda uscente 

 da quel punto e per generatrici le coppie di assi uscenti dai vari punti di quella 

 corda (cfr. n." 4). Gli spazi tangenti a F formano dunque solo una oo' , essendo 

 ciascuno di essi tangente lungo tutta una corda. Le corde appoggiate ad un asse for- 

 mano pure una rigata cubica , ma non più situata in uno spazio ; esse punteggiano 

 C* in coppie di un'involuzione. Viceversa, ogni involuzione (quadratica) di punti di 



dà come luogo delle corde contenenti le sue coppie una rigata cubica normale 

 avente per direttrice {asse dell'involuzione) un asse di C* ; dunque il sistema degli 

 assi di non è altro che il sistema degli assi delle involuzioni che si possono im- 

 maginare su C^. 



Ciascuna di queste involuzioni appartiene ad una determinata omografia invo- 

 lutoria di S^, la quale muta in se stessa ed ha per asse l'asse di F corrispon- 

 dente e per pioino direttore il piano polare di quell'asse rispetto a quella varietà 

 quadratica M^^ che; per un noto teorema di Clifford, passa per ed è tangente 

 in ogni punto di questa al rispettivo spazio osculatore. Siccome la oo' degli spazi tan- 

 genti a F, che si verifica facilmente essere della 4" classe, si compone degli spazi con- 

 giungenti a coppie le tangenti di C"*, sicché comprende in particolare lo spazio oscu- 

 latore di in un suo punto qualunque (spazio che toccherà F lungo la tangente 

 a in quel punto), così si ottiene come polare rispetto ad IP^ una superficie oma- 

 loide del 4' ordine F^.^ (i cui spazi tangenti corrispondono ai punti di F), luogo dei 

 punti d'incontro dei piani osculatori di (7*, passante per ed avente questi piani 

 per piani tangenti nei punti di questa curva. I piani direttori sono i piani delle oc* 

 coniclie di questa superficie, mentre i piani d'intersezione di spazi osculatori di 

 (cioè polari rispetto ad Jf^^ delle corde di C'*) ne sono i piani tangenti Risulta an- 

 cora dalla polarità rispetto ad M'^ che per ogni punto passano tre piani direttoli 

 concorrenti in una retta e che per ogni piano passano tre spazi tangenti ad 7*'^.,, 

 ciascuno dei quali contiene due piani direttori. 



44. Il sistema delle corde di F gode della proprietà che proiettandolo da due 

 qualunque di esse si hanno due reti proiettive di spazi ; ne segue che F è generabile 

 con tre reti proiettive, ma che in tal generazione si ha la particolarità che i due 

 sistemi di rette coniugati coincidono. 



La varietà cubica F si può considerare come una sezione spaziale qualunciue di 

 quella varietà J^P^ dello spazio a 5 dimensioni che è luogo delle corde della super- 

 ficie omaloide di 4° ordine normale per questo spazio e che, rappresentando linear- 

 mente la serie delle coppie di rette di un piano (considerate come coniche degeneri), 

 si può definire analiticamente con un determinante cubico simmetrico uguagliato a 

 zero. Da ciò si possono trarre alcune delle precedenti proprietà di F. Inoltre, siccome 

 una varietà cubica di generabile con reti proiettive e tale che le due generazioni 



