ii6 SULLE VARIETÀ CUBICHE DELLO SPAZIO A QUATTRO DIMENSIONI 



coniugate coincidano si può rappresentare, come facilmente si vede, con un determi- 

 nante cubico sinimetrico (i cui sei elementi sono legati da un'equazione lineare), ed 

 è perciò una sezione spaziale della suddetta 31^^ di S., così si conclude che ìa sola 

 varietà cubica generabile con reti proiettive sì che le due generazioni coniugate coin- 

 cidano, vale a dire il solo sistema oo- di rette, tale che da due qualunque di esse 

 le altre si proiettino mediante reti proiettive, è la varietà od il sistema delle corde 

 di una quartica. 



Proiettando da un punto P esterno a F si ha dalla una quartica razionale 

 't appartenente allo spazio ordinario B, e , come contorno apparente di P, la super- 

 ficie sviluppabile di 4^ classe e 6° ordine inviluppata dai piani bitangenti di quella 

 quartica. Tutte le proprietà note e molte nuove della quartica razionale dello spazio 

 ordinario si otterrebbero assai semplicemente per questa via. Le bitangenti (propria- 

 mente dette) di quella sviluppabile, essendo proiezioni del sistema degli assi di F, 

 sono gli assi delle involuzioni di punti della quartica 



In ciascuna di queste involuzioni ogni coppia è separata armonicamente dall'asse 

 e da un certo piano direttore; gli oo' piani direttori che così si ottengono e dei quali 

 ognuno appartiene a due diverse involuzioni inviluppano una superficie di Steiner di 

 4" ordine e 3* classe avente per curva asintotica (per le proprietà viste al n." preced. 

 dalla superficie di cui quella è proiezione). Le tre omografie involutorie di i 

 (;ui piani direttori passano per P danno in R tre involuzioni assiali che mutano -y* 

 in se stessa: le tre rette doppie di quella superficie di Steiner sono direttrici per 

 queste involuzioni. Ecc. ecc. — Ci limitiamo a questo accenno sul metodo che qui ci 

 si presentò per studiare le quartiche di 2' specie dello spazio ordinario, perchè esso 

 non sembra offrire veruna difficoltà ; se il punto P si prende su F si ottengono le 

 quartiche con punto doppio e le loro sviluppabili bitangenti. 



15. Varietà cubiclie con due eouiclie doppie. — Si possono considerare come 

 casi particolari creila varietà studiata nei due n.' prec. ; qui la curva si scinde nelle 

 due coniche doppie, le quali avranno un punto comune ma non staranno in uno stesso 

 spazio. La A'-arietà F si comporrà ora delle rette che si appoggiano a quelle due co- 

 niche; ossa contiene i piani di queste, ha in ogni punto di ciascuna di esse per 

 tangente un cono di 2' specie avente la tangente nel punto stesso per sostegno, ma 

 nel punto B comune alle due coniche ha un punto bispaziale i cui due spazi tangenti 

 sono tangenti a F lungo i piani delle due coniche e si segano nel piano della tan- 

 gente in D a queste, piano che evidentemente apparterrà pure a F. Questa varietà 

 contiene un secondo sistema, (2, 3) , di rette appoggiate appunto a questo piano e 

 ciascuna delle quali è direttrice di una rigata cubica normale le cui generatrici, rette 

 del 1° sistema di F, punteggiano le due coniche proiettivamente col punto unito B : 

 le oc.^ rette di quel 2" sistema corrispondono così alle co- proiettività col punto 

 unito B tra le due coniche. Gli spazi tangenti a F la toccano ancora lungo rette 

 del 1' sistema e formano quindi una oo- che è ancora della 4* classe. Ecc. ecc. 



46. Varietà cubìclie con rette doppie di 2' specie. — Intendiamo per linea 

 doppia di specie r di una varietà una linea di cui ogni punto sia doppio di specie 



