38 SULT.E TARIETÀ CUBICHE DELLO SPAZIO A QUATTRO DIMENSIONI 



punto triplo {uniplamrc). Ma se P si prende su -, la sua polare rispetto a P 

 diventa un cono di 2" specie avente per sostegno d (poiché ogni piano che passi per F 

 e per un punto D di d sega F. secondo una cubica avente in 1) una cuspide con la 

 tangente DP e quindi la conica polare di P rispetto a quella cubica, cioè Tinter- 

 sezione di quel piano con la suddetta, si scinde in due rette passanti per JD), 

 mentre il suo spazio polare passa per d. Da ciò e da altre semplici considerazioni si 

 trae che allora il contorno apparente di F diventa una superfìcie rigata di 6° ordine 

 avente una retta quadrupla direttrire d e due generatrici cuspidali ; per ogni punto 

 di quella direttrice d escono due coppie di generatrici situate rispettivamente in 

 due piani passanti per d; così le coppie di piani (hitangenti) corrispondenti ni 

 vari punti di d formano un involuzione, ecc. ecc. 



47. Passiamo ora al caso in cui una varietà cubica T ha la retta doppia di 2' 

 specie d tale che in tutti i suoi punti uno spazio tangente è fisso, e sia T, mentre 

 gli altri formano un fascio avente per sostegno un certo piano r: passante per (7. Uno 

 qualunque di questi spazi passanti per ti sega V in un cono cubico che ha d per gene- 

 ratrice doppia lungo cui sono tangenti il piano n e quello in cui lo spazio considerato 

 sega T\ non è dunque più d una generatrice cuspilale, tranne quando n cade in T. 

 La varietà è segata da T secondo una superficie cubica che ha d per retta tripla , 

 vale a dire secondo tre piani ti., tt^ passanti per d. Le rette di F formano quindi 

 quattro sistemi (1, 3), di cui uno appoggiato a c7 e gli altri tre mutuamente coniugati 

 in generazioni con reti proiettive ed appoggiati rispettivamente a tTj,/!.,, 7r_j. In ogni 

 spazio passante per ~, l'intersezione con F si compone ancora di una quadrica passante 

 per d e tangente al piano rr^ in un punto fisso, che è quel punto P, di d che ha 

 per spazio tangente (oltre a T) lo spazio 7r, . In questo caso F è ancora di classe. 



Si ottengono dei casi più particolari supponendo che questa varietà acquisti un 

 punto doppio A fuori di d; siccome il piano Ad dovrà appartenere a F e quindi alle M.^ 

 (coppie di spazi) che la toccano nei punti di d, così esso dovrà, o a) coincidere con 

 due dei tre piani tt^ , r.„ , ~^ ; oppure, h) coincidere con . 



Cominciando dall'ipotesi a) in cui ad esempio rij e n.^ coincidano col piano Ad. 

 su ogni spazio passante per questo la quadrica d'intersezione con F dovrà passare per 

 la retta fissa d' che congiunge Pj ad A, e però non solo quest' ultimo punto, ma tutta 

 quella retta sarà doppia per F ; e si ha allora il caso più generale di una varietà 

 cubica F con due rette doppie, Vuna d di 2" e l'altra d' di V specie. Questa 

 varietà è ancora di 6' classe. Fra i punti di (7' solo quello P^ che essa ha comune 

 con d è bispaziale. Le rette di F formano ora tre sistemi (1, 3) di cui uno appog- 

 giato a d. un altro appoggiato a d' (e nel quale coincidono ora i due che si appog- 

 giavano rispettivamente a e n^) ed uno appoggiato a e coniugato al secondo. 



Nell'ipotesi l) si ha una varietà cubica F {di 4' classe) con una retta doppia d 

 di 2' specie e con un punto doppio. F contiene allora, oltre a ~^ , , Tig ed al 

 piano n che congiunge d ad A, altri tre piani (7j , a.,, passanti per A e situati 

 negli spazi che congiungono n rispettivamente a 7;^ , t:, , t:^ . Le sue rette formano 

 quattro sistemi (1,2) tutti mutuamente coniugati e di cui uno s'appoggia a, d e gli 

 altri rispettivamente ai piani ~^ '''s '^ii ^a'^i ^a- 



