40 SULLE VARIETÀ CI BICHE DELLO SPAZIO A QUATTRO DIMENSIONI 



Può presentarsi il caso particolare che n stia su F e coincida quindi con uno 

 dei piani n^n.^Tc^; però se ciò accadesse pel fatto clie in tt vi fosse, fuori di d, un 

 punto doppio di F, questa varietà avrebbe t: per piano doppio (v. n". 46). Se invece 

 F ha un punto doppio fuori di -, la retta che lo congiunge al punto unispaziale di 

 d sarà per F retta doppia (di P specie in generale, ma di 2' specie in un caso 

 particolare che s'incontrerà più tardi); questa varietà si riduce allora alla Sgelasse. 



I contorni apparenti di F hanno ora nella proiezione di d una retta cuspidale 

 con piano tangente fìsso e con un punto triplo (nella proiezione del punto unispa- 

 ziale di d), pel quale in un caso particolare passa un'altra retta doppia; ma non ci 

 fermiamo ad enunciare le proprietà corrispondenti ai vari casi. 



4:9. Yarietà cubiche dotate di conica doppia di 2' specie. — Se F è una va- 

 rietà cubica avente la conica Z;^ doppia, sicché il piano n di quella conica sta su F 

 e lungo esso questa varietà è toccata da uno spazio fisso T (n.° 38), risulta da ciò 

 che si vide al n.° citato riguardo ai punti bispaziali di che affinchè questa conica 

 sia doppia di 2'' o 3" specie lo spazio T dovrà t-^Tliare (non più in n contato due 

 volte ed un altro piano, ma solo) secondo il piano n contato tre volle. Viceversa se 

 questa condizione si verifica, è chiaro che k- sarà doppia di 2' specie per F e che 

 nei suoi vari punti sarà lo spazio fisso T uno dei due spazi tangenti a F. Da una 

 proposizione vista alla fine del n." 30 segue che se un punto di /.■' fosse unispaziale, 

 il piano 7r sarebbe doppio per F; quindi se Ic^ è doppia di 2' (e non 3') specie 

 per F, nessun suo punto sarà unispaziale. Una varietà cubica non può avere una 

 conica doppia di 3* specie se non quando abbia un piano doppio. Vedremo poi, stu- 

 diando la varietà cubica con piano doppio, che essa ha effettivamente una conica 

 doppia di 'à'' specie; per ora limitiamoci al caso della conica doppia di 2'' specie. 



Dal fatto che T sega F secondo rr contato tre volte segue che le Tll^g polari 

 rispetto a F dei vari punti di n si scindono tutte nello spazio fisso T ed in un altro 

 spazio variabile; stante la corrispondenza proiettiva fra i punti di rr e le loro M^,^ polari, 

 quello spazio variabile descrive una rete che è in corrispondenza proiettiva (involutoria) 

 con n. Evidentemente F è omologica-armonica rispetto a qualunque punto di n ed 

 allo spazio corrispondente di quella rete; chiamando p la retta che è sostegno di 

 questa, ne segue pure che F corrisponde a se stessa nell'omografia involutoria che ha 

 n e p per direttrici. Passano per p in particolare gli spazi diversi da T i quali toc- 

 cano F nei punti di Ic^: essi inviluppano il cono quadrico di 2" specie che proietta 

 lì^ da ^ ; la corrispondenza proiettiva considerata fra i punti di n e gli spazi per p 

 può considerarsi come una polarità rispetto a quel cono quadrico. La retta p sega F 

 in tre punti, vertici dei tre coni quadrici appartenenti alla serie di quadriche secondo 

 cui F è segata dagli spazi passanti per ;r; i due sistemi di generatrici di queste qua- 

 driche formano un sistema (2,6) che costituisce tutto Tinsieme delle rette di F. 



Le omologie armoniche nominate che trasformano F in se stessa trasformano 

 un punto qualunque A di nei vari punti di una quadrica situata in uno spazio 

 })assante per n e generata dalle due stelle reciproche di cui l'una proietta da A il 

 sistema piano (punteggiato) n e l'altra proietta dal punto A che è separato armoni- 

 camente da A mediante n q p ì\ sistema (rigato) secondo cui n sega la rete conside- 



