42 SULLE VARIETÀ CUBICHE DELLO SPAZIO A QUATTRO DIMENSIONI 



51. Varietà cubiche con (lue rette doppie di 2' specie. — Una varietà V 

 siffatta è un caso particolare di quella avente una conica doppia di 2* specie ; questa 

 conica si scinde ora in due rette d e d' passanti per uno stesso punto D; e si ha 

 così un caso già nominato al n." 47. Vi sarà anche qui, come in generale quando 

 una varietà cubica ha una conica doppia di 2^* specie, uno spazio T tangente a F 

 lungo il piano d d' e non avente comuni altri punti con T e T sarà uno dei due 

 spazi tangenti relativi ad ogni punto di d o di d' . Lo spazio tangente variabile re- 

 lativo ai vari punti di d descriverà un fascio avente per sostegno un piano n pas- 

 sante per d e similmente vi sarà un piano n passante per d' e nel quale s'interse- 

 cano tutti gli spazi (diversi da T) che toccano F nei punti di d' : evidentemente t: 

 e n' saranno incidenti , cioè staranno nello spazio che insieme con T costituisce il 

 cono tangente a F in D. Questo spazio sega F (oltre che nel piano dd ) in un cono 

 quadrico tangente a. t: e n' in d e d'. Esso può però venir a coincidere con I'; i 

 piani - e vengono cioè a stare simultaneamente in T, quando il punto D comune 

 alle due rette doppie sia unispaziale. In ogni caso del resto F corrisponde ancora a 

 se stessa in oi ^ omologie armoniche coi centri sul piano d d' e cogli spazi d' omo- 

 logia passanti per la retta nn'. 11 sistema delle sue rette si scinde in due (1, 3) 

 appoggiati rispettivamente a. d e d' (nel secondo di essi coincidono i tre sistemi non 

 appoggiati a d della varietà considerata al n ° 47). 



Attualmente F è in generale di 6" classe. Ma si riduce alla 5^ nel caso dianzi 

 nominato (in cui le due rette doppie di 2'' specie d, d' presentano il caso del n.° 48, 

 cioè) in cui il punto D è unispaziale. E si riduce alla 4" classe nel caso in cui il 

 cono quadrico di F che nel caso generale esce da D degenera (anzi che nel piano d d' 

 contato due volte, come in quel caso particolare) nei due piani t: n ; ciò accade quando 

 F acquista un punto doppio A fuori di dd\ chè allora i piani Ad, Ad' stanno su 

 r e coincidono appunto con n, n : e viceversa. In questo caso vi sono su T due 

 sistemi di rette (1, 2) coniugati fra loro. 



Il contorno apparente di T da un suo punto è in generale una superficie di 

 4° ordine (e 6" classe) con due rette cuspidali {*). Invece se il centro di proiezione 

 è esterno si ottiene in generale una superficie di 6" ordine (e 6'' classe) con quattro 

 coniche cuspidali di cui una scissa in due rette ; questa superficie essendo un caso 

 particolare ovvio di quella del n.° 50 non stiamo a descriverla ulteriormente; essa 

 presenta un caso particolare (di 5" classe) in cui il punto comune alle due rette 

 cuspidali è triplo per la superficie ed un altro (di A' classe) in cui essa acquista invece 

 un punto conico. 



52. Varietà cubiche con piano doppio, cioè dotate di conica doppia di 3' specie. 



— Sia r una varietà cubica con piano doppio n. Il fascio degli spazi passanti per - 

 segherà ancora F secondo una oo^ di piani (generatori) ; i punti di sono tutti bispa- 



(*) V. per le proprietà che così si ritroverebbero di questa supei-ficie e dei due casi particolari 

 (con punto triplo e con punto conico proveniente dai casi particolari di r i n.i 82 , 90 e 119 della 

 mia Memoria già citata sulle superficie di 4" ordine. 



