44 SULLE VARIETÀ. CUBICHE DELLO SPAZIO A QUATTRO DIMENSIONI 



Segue subito dalla generazione di T con piani proiettivi che T si può conside- 

 rare come la proiezione della varietà cubica razionale normale di oo^ piani appar- 

 tenente ad S.^ (*). 



Il sistema delle sue rette generatrici si può anche definire come l'insieme delle 

 rette che incontrano quattro piani (generatori di T) quando questi sono incidenti ad 

 uno stesso piano ti ; od anche si può generare mediante tre reti proiettive di spazi 

 aventi un piano tinito n (e quindi per sostegni ti'e rette di ti). 



Proiettando F sullo spazio ordinario da un punto esterno ad essa i piani gene- 

 ratori di r danno i piani di un inviluppo di 3" classe ed il contorno apparente di 

 r è appunto la superficie sviluppabile di 4° ordine inviluppata da quei piani (fatta 

 astrazione dal piano proiezione di n contato due volte, il quale appartiene all'invi- 

 luppo e taglia la sviluppabile secondo la conica proiezione di k-). 



Su una classe dì trasformazioni doppie e triple delio spazio 

 e sulla rappresentazione in questo 

 dei sistemi di rette studiati nel presente lavoro. 



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53. Le varietà cubiche di rappresentabili univocamente sullo spazio ordi- 

 nario (**) forniscono una classe notevole di trasformazioni di questo spazio. Conside- 

 rando in fatti, oltre alla rappresentazione univoca di una tal varietà F su uno spazio 

 Il , la sua rappresentazione su uno spazio doppio o triplo R che si ha proiettandola 

 su R da un punto P posto su F o fuori di F, e facendo corrispondere in R e R' 

 due punti i quali siano imagini di uno stesso punto di F si viene a stabilire fra 

 quegli spazi una corrispondenza (1, 2) o (1, 3), cioè una trasformazione doppia o 

 tripla dello spazio {doppio o triplo) R nello spazio [semplice) R {***). Per rap- 

 presentazione univoca di F su R' noi assumeremo la proiezione su questo spazio 

 di quella varietà fatta da un suo punto doppio D. 



Allora le coppie o terne di punti (congiunti) di R' le quali corrispondono ai 

 singoli punti di R saranno situate sulle rette che passano per un certo punto fisso 

 P' (proiezione su R' di P dal centro D) e su ognuna di quelle rette si avrà così 

 un'involuzione di 2° o 3° grado; nel 1° caso, cioè nel caso della trasformazione dop- 

 pia, il punto P sarà fondamentale in R', avendo per corrispondente in R un piano fj.. 

 I punti doppi delle involuzioni che cos'i si hanno sulle varie rette passanti per P', 

 cioè i punti di R in ciascuno dei quali coincidono due punti corrispondenti ad uno 

 stesso punto di R, formano una superfìcie a-' {superficie doppia di R') del 4" ordine, 



(*) V. la noia al n. 9 del mio lavoro Sulle varietà normali a tre dimensioni composte di serie 

 semplici razionali di piani {Ani di quest'Acc. XXI) ; da quanto ivi è detto si potrebbero dedurre 

 parecchie delle proprietà di T dianzi trovate. 



(**) Se tutte le varietà cubiche di (fatta astrazione dal cono di 2' specie che proietta da una 

 retta una cubica ellittica) siano i appresentabili univocamente sullo spazio ordinario, o se sieno tali 

 solo quelle che hanno punti doppi, è una questione che qui non intendo risolvere. 



(***) Per la teoria generale delle trasformazioni doppie dello spazio veggasi il lavoro del sig. 

 De Paolis nelle Memorie della R. Acc. dei Lincei, serie 4^, t. I. 



