DI COREADO SEGEE 



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clie è la proiezione della ^S- • '' intersezione di F colla prima polare di P rispetto a 

 questa varietà fatta dal punto doppio I). Siccome se P sta su F, quella ^S- • ^ ha in 

 P un punto doppio, cosi nel caso della trasformazione doppia cp* avrà in P' un punto 

 doppio ; essa conterrà poi sempre la sestica ò''' secondo cui P' sega il cono sestico 

 di rette di F uscenti da D. La quadrica su cui sta è imagine di un punto fon- 

 damentale di R, cioè della proiezione di B fatta da P su B. Questo punto B^ 

 è doppio per la superfìcie od P° [superficie limite di R) che corrisponde in R 

 alla superficie doppia <p'* di P', cioè per la proiezione delle -S*---' dal centro P. Il 

 cono sestico circoscritto da B^ a questa superficie F (proiezione del cono di rette 

 di F uscente da B) ha le sue singole generatrici corrispondenti ai singoli punti della 

 sestica ò^, sicché questa è fondamentale per P'. Per ogni punto doppio diverso da D 

 che vi sia su 1 ' quella curva e quel cono hanno un elemento doppio ; le degenerazioni 

 loro si corrispondono perfettamente, essendo la curva proiettiva a curve situate sul cono. 



La superficie limite F di P, contorno apparente di F rispetto al punto P 

 ha tutte le proprietà e può presentare tutte le particolarità che furono studiate nei 

 §§ precedenti. Distinguendo i due casi, vi è da ossservare che i sei punti doppi di P* 

 situati nel piano /jl (tangente lungo una conica a questa superficie) sono punti fonda- 

 mentali per P ; ad essi corrispondono in P' sei rette di <I>* uscenti da P' ed appar- 

 tenenti ad un cono quadrico (proiezioni delle sei rette di F uscenti da P). F^ ha 

 invece una sestica cuspidale a cui corrisponde una sestica tripla per P'. 11 cono M^^ 

 circoscritto da P a F, cioè proiettante da P la *S'- • ^ d'intersezione di con la M-^ 

 polare di P, taglia ancora F secondo una superficie di 6° ordine situata su un'altra M^^ 

 che tocca quella lungo la sua intersezione con lo spazio polare di P (per una esten- 

 sione facile a farsi di una nota proprietà delle cubiche piane a varietà cubiche di 

 spazi superiori) e che tocca F nel punto in cui la retta PB taglia ancora questa 

 varietà. Questa nuova superficie si proietta da B su P' secondo una superficie di 

 I)" ordine {con giunta di luogo dei punti che con quelli di contati due volte 

 corrispondono a punti di F^. avrà P' per punto doppio e per linea doppia ; ogni 

 nuovo punto doppio di (p"* (cioè di F), darà un corrispondente punto doppio di 4^". 



e 4'^ si toccano lungo la sestica tripla di P' avendo entrambe uno stesso cono 

 sestico di vertice P' tangente lungo questa curva. 



54. Per poter compiere la descrizione della trasformazione irrazionale del numero 

 precedente conviene che ci occupiamo in questo n.° di curne e superfìcie del 3" or- 

 dine iscritte nella superfìcie od F*' contorno apparente di F rispetto al punto P. 



Uno spazio qualunque S sega F secondo una superficie cubica che vien proiet- 

 tata su P dal centro P mediante un cono M'^ tangente a F in tutti i punti in cui 

 S sega la S''"^ di contatto di F col cono circoscritto di vertice P, cioè nei punti 

 di una sestica. 11 cono M"^ considerato sega inoltre F secondo una superficie del 

 ordine intersezione di F con una M'; questa nel caso che P stia su F tocca l in P, 

 sicché allora quella superficie del 6" ordine ha in P un punto doppio. In ogni caso 

 poi la superficie medesima incontra S nella sestica già nominata, sicché la quadrica 

 in cui questa è contenuta sta simultaneamente sulla M'- suddetta e sulla prima po- 

 lare di P rispetto a F. 



