46 SrLLE VATJIETÀ CUBICHE DELLO SPAZIO A QUATTRO DIMENSIONI 



Analogamente la cubica intersezione di F con un piano non passante per P è 

 proiettata da questo mediante un cono che incontra ancora V in una sestica (situata 

 su una quadrica) ; questa curva e la *S'-'^ incontrano il piano negli stessi 6 punti e 

 questi sono punti di contatto di quel cono cubico con T. Da queste e da altre fa- 

 cili osservazioni si hanno per le proiezioni su J2 da P le proposizioni seguenti : 



La superficie od F'' ammette un sistema oo^ di superficie cubiche che la 

 toccano lungo scstiche ed un sistema oo^ di ciihiehr itiane che la toccano in se- 

 stuple di punti situate su coniche ; i quali sistemi sono proiezioni delle sezioni fatte 

 su F rispettivamente con spazi e con piani (*), e si diranno superficie e curve del 

 3" ordine iscritte in od F^. Bue superficie cubiche iscritte si segano in una 

 cubica piana iscritta (ed in una sestica). Le oa* quadriche contenenti le sestiche di 

 contatto di F^ colle superficie cubiche ad essa iscritte toccano lungo coniche la qua- 

 drica contenente la sestica cuspidale: invece le superficie cubiche iscritte in F* 

 contengono i sei punti doppi di questa superficie situati nel piano doppio ~. 



Ogni punto dello spazio è punto doppio per due o tre superficie cubiche iscritte 

 in F^ od F^-. le due o tre sestuple di tangenti doppie di queste superficie uscenti 

 da quel punto considerate al n.° 3 appartengono rispettivamente a quelle due o tre 

 superficie cubiche iscritte. Ne segue, ad esempio, per la F^, quest'altra proprietà, 

 che ognuna delle due sestuple considerate di tangenti doppie della F* uscenti da 

 tm punto taglia il piano doppio n in sei punti (di una conica) situati coi sei 

 punti doppi di n in una stessa cubica. 



In generale le rette di ogni superficie cubica iscritta in F^ od F'' si distri- 

 buiscono tra i vari sistemi in cui il sistema delle tangenti doppie di questa può scin- 

 dersi (eccettuato solo per F* il sistema delle rette di n) precisamente come nella 

 sezione spaziale di F, di cui quella superficie cubica è proiezione, le varie rette si 

 distribuiscono tra i vari sistemi di rette di F. Quindi tale distribuzione risulterà su- 

 bito nei vari casi particolari di F^ od F^ da proprietà viste dei corrispondenti casi 

 di F. Una conseguenza di quell'osservazione è ad esempio questa, che il numero delle 

 rette di qualunque sistema di tangenti doppie di F^ od F^ contenute in ogni su- 

 perficie cubica iscritta è uguale alla classe di quel sistema. 



55. Ritornando ora a considerare la corrispondenza fra i due spazi R e P', osser- 

 viamo che ogni sezione spaziale di F si proietta da D su P' secondo una superficie 

 cubica passante per o^-: e viceversa, siccome le superficie cubiche passanti per questa 

 sestica formano sempre un sistema lineare oo^ (purché per certe degenerazioni molto 

 particolari di o'' s'intenda convenientemente il passaggio per essa), cos'i esse costi- 

 tuiranno sempre il sistema delle proiezioni delle sezioni spaziali di F. Quindi a quelle 

 oo'* superficie cubiche di P' corrispondono in P le oo* superficie cubiche iscritte in 

 F. In particolare ai piani di P' corrispondono in P oo^ superficie cubiche iscritte 

 ad F ed aventi un punto doppio nel punto fondamentale 7)^; invece ai piani di li 



(*) Altre linee e superficie di 3° ordine formanti altri sistemi possono avere le stesse relazioni 

 con F; ma noi qui consideriamo solo quelle che si ottengono in questo modo. 



