DI CORRADO SEGRE 47 



■corrispondono in E' le supei licie cubiche passanti per e formanti un sistema lineare 

 oo^, che nel caso della trasformazione doppia (cioè quando P sta su F) è definito, 

 oltre che da 5", dal passaggio pel punto fondamentale P'. Ad cgni piano di li' è 

 congiunta (cioè corrispondente alla stessa superficie cubica di li che a quel piano 

 corrisponde) una superficie del 4" ordine passante per ed avente in P' un punto 

 triplo doppio, secondo che si tratta della trasformazione doppia o tripla. 



Alle rette di R corrispondono in li' cubiche piane ellittiche appoggiate in 6 

 punti a d'^\ alle rette di R' corrispondono in R cubiche piane iscritte in P ed aventi 

 un punto doppio in D^. Ma è da notare che si corrispondono fra loro il sistema 

 delle rette di R che son tangenti doppie di F ed il sistema delle rette di li' che 

 sono corde di o^; sicché questi sistemi si scindono simultaneamente in altri con lo 

 scindersi di o''. 



56. Quest'osservazione ci conduce all'ultima questione di cui intendiamo occu- 

 parci, cioè della rappresentaislone piana dei sistemi di rette studiati in questo la- 

 voro, sistemi di tangenti doppie di F ovvero sistemi di rette di F che danno quelli 

 come proiezioni. La rappresentazione piana (univoca) sarà possibile se rappresentabile sul 

 piano (come diremo più brevemente) razionale sarà il corrispondente sistema di 

 corde di ó''. Ora si dimostra facilmente che il sistema delle rette che si appoggiano 

 a due curve distinte o coincidenti è razionale solo quando le due curve sono esse 

 stesse razionali. Applicando questa proposizione nei vari casi che può presentare f}** 

 ai sistemi costituiti dalle sue corde si riconoscerà immediatamente per ogni caso da 

 noi studiato di F o di P quali sistemi di rette di F o di tangenti doppie di P siano 

 razionali. Così, se ò'' non si scinde, essa deve acquistare 4 punti doppi per diventare 

 razionale ; e se ne trae che se F ha meno di 5 putiti doppi il sistema delle sue 

 rette non è razionale, mentre esso è tale se F ha 5 punti doppi indipendenti (ed 

 analogamente per P). 



Tra i sistemi di rette che così si riconoscono come razionali si trovano in par- 

 ticolare tutti quelli che si ottengono mediante la generazione con stelle proiettive di 

 spazi. Ma la rappresentazione piana del sistema di rette generato (m da tre stelle 

 proiettive di spazi r, r , r" si può anche ottenere direttamente riferendo proiettiva- 

 mente quelle stelle di spazi ad un piano punteggiato p , e considerando ogni punto 

 di questo come imagine della retta d'intersezione degli spazi corrispondenti. Allora, 

 chiamando n (< 6) la classe del sistema di rette, alla rigata d'ordine n + 3 costi- 

 tuita da quelle sue rette che si appoggiano ad un piano qualunque a coiTisponderà 

 in p una curva del 3" ordine, giacché a sega le tre stelle di spazi secondo tre piani 

 rigati proiettivi e le rette di ciascuno di questi che concorrono in un punto con le 

 corrispondenti rette degli altri due inviluppano una curva di 3' classe, e però gli 

 spazi di ciascuna stella che proiettano quella rigata formano una oo^ di 3' classe (*). 



(*) Come questa, cosi la corrispondente curva del 3° ordine di p sarà razionale solo quando a sega 

 la varietà cubica T secondo una curva razionale e quindi ciò non accadrà in generale, salvo nel caso 

 in cui r abbia uh piano doppio; ma in questo caso particolare il sistema delle tjenerati ici di r si po - 

 trebbe rappresentare su un piano p in modo che alle rigate ( oo^ in questo caso appoggiate ai vai i 

 piani di corrispondano le coniche di p. 



