DI CORRADO SEGRE 



Varietà cubiche con otto punti doppi. 



19. Supponiamo che, rimaneiulo fisse le ipotesi del § precedente, vi siano ora 

 due piani intersezioni di spazi corrispondenti delle tre reti proiettive generanti il 1" 

 sistema di rette di F, cioè che, oltre al piano 123, sia tale il piano 156. Allora 

 dal 2" sistema di rette si staccherà il sistema di quelle del piano 234, il quale starà 

 pure su r, e taglierà 15G in un punto 8, che sarà un nuovo punto doppio di F. 

 Lo spazio dei piani 1568 e 4567 taglierà ancora F in un nuovo piano il quale dovrà 

 evidentemente passare pei punti doppi 1, 8 e 4, 7: segue dunque che i punti doppi 

 1 , 4 , 7 ., 8 stanno su un quinto piano di F (che si otterrebbe pure dallo spazio 

 congiungente i due piani 1237 e 2348). — Ogni varietà ctibiea con otto 2^^' ti doppi 

 è di questa specie e contiene quindi cinque piani (V. n." 11 e la nota al n.° 4). 



La proposizione vista alla fine del n." 16 prova che i due piani 123 e 156, i 

 quali s incontrano in un sol punto, saranno incontrati rispettivamente da due sistemi 

 del 1° ordine di rette di F, coniugati tra loro e che saranno diversi dai primi due, 

 poiché il 2" di questi incontra entrambi quei piani, mentre il 1 " non ne incontra al- 

 cuno. Osservando che un sistema di rette di T non può incontrare due piani i quali 

 si seghino in più d' un punto (poiché altrimenti giacerebbe nello spazio determinato 

 dai due piani) si trova subito che i piani incontrati dai quattro sistemi nominati sono 

 rispettivamente i seguenti: 1.° 2348 e 4567, 2." 1237 e 1568, 3.° 1237 e 4567, 

 4°. 1568 e 2348. 



Questi quattro sistemi sono tutti della stessa specie ( 1 , 4) e formano due coppie 

 distinte, 1° e 2", 3" e 4°, che si possono scambiare tra di loro ; e precisamente si 

 scambiano il 1° col 3" ed il 2 ' col 4" quando degli otto punti doppi si scambino 

 1 con 8 e 4 con 7. Nessuno di quei (juattro sistemi incontra il piano 1478: le 

 rette di F che incontrano questo piano e che formano la serie di quadriche posta 

 negli spazi passanti per esso, formano un sistema residuo (2, 6). 



20. Il 1" sistema di rette ha un cono cubico uscente dal punto 4, quattro coni 

 quadrici uscenti da 2, 3, 5, 6, e tre fasci di rette di centri 1, 7, 8 e posti risp. 

 nei piani 1478, 1237, 1568. Le rette del 1° sistema appoggiate ad una retta del 

 2°, 3", 4° del sistema residuo formano rigate d'ordine 4, 2, 2, o 3. Ne segue che: 



La superficie del 4 ordine dotata di 6 piani singolari e quindi di \ A: punti 

 doppi è focale per quattro sistemi di rette (2, 4), ciascuno dei quali ha 6 fasci di 

 raggi, 6 coni quadrici e 2 coni cubici (e due rette doppie). Essa è inviluppata da 

 sette serie di quadriche, ima delle quali dà con le sue generatrici il sistema re- 

 sidtio (4, 6) di tangenti doppie della superficie, mentre le altre sei corrispondono 

 alle combinazioni binarie dei quattro sistemi (2, 4) sì che ciascuna di esse dà coi 

 suoi due sistemi di generatrici due di quei sistemi. 



Le particolarità della configurazione dei 14 punti e dei 6 piani singolari e di 

 quelle serie di quadriche scaturiscono subito dalle ultime cose esposte, ma per brevità 

 non stiamo a darle, essendo esse alquanto complicate. 



