18 SULLE VARIETÀ CUBICHE DELLO SPAZIO A QUATTRO DIMENSIONI 



Nel proiettare sullo spazio R da un punto P di T dànno quadriche di R, non 

 solo le due serie di quadriche situati su F degli spazi passanti pei due piani 123 e 

 456, ma anche le rigate cubiche di rette del 1" sistema, le quali passano per P : 

 queste rigate sono quelle che hanno per rette direttrici le rette del 4" sistema ap- 

 poggiate a quella del 1° che passa per P, e la considerazione del cono proiet- 

 tante una di esse prova che esso proietta nello stesso tempo una rigata cubica di 

 rette del 2" sistema passante per P. 



Esiste una superficie del 4" ordine con tre piani doppi 7^ e, 7.^ e IS punti 

 doppi, di cui uno A comune a quei tre piani, tre B^B^B^ situati rispettivamente 

 sulle rette d'intersezione di quelli e i rimanenti formanti tre terne rispettivamente 

 su quei tre piani C^JD^E^, C^D^E.^, C^D^E.^. Quella superficie è focale per tre 

 sistemi di rette (2, 5) e per un sistema (4, I primi tre sistemi si comportano 

 nello stesso modo. Il \° ha un fascio di raggi uscente dal punto A e situato nel 

 piano (7j, un altro uscente da B^ e situato in ed infine un terzo uscente da 

 B.^ e situato in c^; 6 coni quadrici di vertici G^B^E^C^B^E^; 3 coni cubici 

 di vertici C-^B^E^; ed infine un cono quartico razionale uscente da B,^ e le cui 

 3 generatrici doppie sono pur tali risp. di quei 3 coni cubici del 1° sistema. Quanto 

 al 2° ed al 3° sistema le loro particolarità si ottengono da queste del \° scam- 

 biando Vindice 1 col 2 o col 3. — La superficie è inviluppata da tre serie di 

 quadriche d'indice 2, per ognuna delle quali i due sistemi di generatrici di ogni 

 quadrica appartengono risp. a due dei tre sistemi di rette; così una serie di qua- 

 driche passa pei punti singolari B^C.^B.-,E,, , B^C^B.^E^, è tangente al piano a ^[*) 

 e dà coi suoi due sistemi di generatrici risp. il 2" ed il 3° sistema di rette. 



Una superficie del 6° ordine con sestica cuspidale dotata di due soli piani 

 doppi ha sette punti doppi, di cui uno (7) comune ai due piani doppi, e gli altri 

 formanti due terne fi, 2, 3 e 4, 5, 6) poste rispettivamente sui due piani. Il si- 

 stema delle tangenti doppie si scinde in tre sistemi (3, 5) ed tino (9, 10). Bei 

 primi tre sistemi due si comportano diversamente dal 3". Infatti, mentre questo 

 ha sei coni quadrici uscenti dai punti singolari 1, 2, 3, 4, 5, 6, ed un cono ra- 

 zionale del 4" ordine uscente da 7; il 1° sistema, pur contenendo gli stessi coni 

 quadrici uscenti da 1, 2, 3, ha tre coni cubici razionali uscenti da 4, 5, 6, ed un 

 fascio di raggi uscente dal punto 7, e posto nel piano 123; mentre il 2° sistema ha 

 comuni col 3'' i coni quadrici uscenti da A, 5, Q, ed ha coni ctibici uscenti da 1, 

 2, 3, ed im fascio di raggi uscente da 7 e posto nel piano 456. Ciascuno dei 

 tre sistemi di rette ha 3 rette doppie, le quali sono generatrici doppie per coni del 

 sistema. — Vi sono due serie di quadriche d'indice tre, inviluppanti la superficie; 

 l'uno è composto di quadriche passanti pei punti 1, 2, 3, 7, tangenti al piano 456, 

 e i cui due sistemi di generatrici appartengono rispettivamente al 2° ed al 3° si- 

 stema di tangenti doppie della superficie; l'altro si compone di quadriche passanti 

 pei punti 4, 5, 6, 7, tangenti al piano 123, e i cui due sistemi di generatrici 

 appartengono rispettivamente al \° ed al 3° sistema. 



(*) Le ce'' quadriche secondo cui una varietà cubica r è segata dagli spazi passanti per un suo 

 piano hanno una generatrice in ciascuno dei piani di V che non stanno con quello in uno spazio, e 

 però si proiettano in una serie di quadriche tangenti ai piani proiezioni di questi. 



